7. TEMA: VERİDEN OLASILIĞA

-

KB2.11. Gözleme Dayalı Tahmin Etme, KB2.16.1. Tümevarımsal Akıl Yürütme

E3.7. Sistematik Olma, E3.9. Şüphe Duyma

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB3.1. Uyum, SDB3.2. Esneklik

D3. Çalışkanlık, D16. Sorumluluk

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB7. Veri Okuryazarlığı

MAT.9.7.1. Olayların olasılığını gözleme dayalı tahmin edebilme
a) Olayların olasılığını deney yoluyla veri toplayarak istenen olayların göreli sıklıklarıyla ilişkilendirir.
b) Deneye ait tekrar sayısı ile deneyin çıktılarının göreli sıklıklarının ilişkisine yönelik çıkarım yapar.
c) Çıkarımlardan hareketle yargıda bulunur.

MAT.9.7.2. Olayların olasılığına ilişkin tümevarımsal akıl yürütebilme
a) Olayların olasılığını teorik olarak incelemeye/hesaplamaya yönelik tüm olası durumları farklı gösterimler (sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi) ile gözlemler.
b) Olayların olasılığını teorik olarak incelemeye/hesaplamaya yönelik matematiksel ilişkilere ulaşır.
c) Olayların deney yoluyla hesaplanan/elde edilen olasılık değerinin teorik olasılık ile hesaplanan değeri arasındaki ilişkiye yönelik genelleme yapar.     

Olayların Olasılığını Deneysel ve Teorik Olarak İnceleme, Olayların Deneysel ve Teorik Olasılığını İlişkilendirme

• Deneye ait tekrar sayısı arttıkça elde edilen göreli sıklıkların değişebilirliği azalır.
• Deneye ait tekrar sayısı arttıkça deneysel olasılık değeri, teorik olasılık değerine yaklaşır.

ayrık olay, ayrık olmayan olay, çıktı, deney, deneysel olasılık, olay, örnek uzay, teorik olasılık

Öğrenme çıktıları; çalışma kâğıdı, kısa cevaplı sorular, açık uçlu sorular, araştırma ödevi, eşleştirme testi ve performans görevi ile değerlendirilebilir.

Olayların olasılığını deneysel olarak incelemeye yönelik bir araştırma ödevi verilebilir. Araştırma ödevi, dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Olayların olasılığını gözleme dayalı tahmin etme ve tümevarımsal akıl yürütme becerilerinin aşamalarını bütünsel olarak değerlendirebilme amacı ile öğrencilerden performans görevi istenebilir. Hazırlanan performans görevi, analitik veya bütüncül dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Öğrencilerin olayları ayrık olma ve ayrık olmama durumuna göre ayırt edebildiği, bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılığının toplamının "1" olduğunu bildiği, olayların olasılığını deneysel ve teorik olasılık ile inceleyebildiği, deneysel ve teorik olasılık arasındaki ilişkiyi açıklayabildiği, “olay, deney, çıktı ve örnek uzay” gibi temel kavramları bildiği kabul edilmektedir.

Olasılık ile ilgili temel kavramları (olay, deney, çıktı, örnek uzay) ve olasılık yaklaşımlarını (deneysel ve teorik) günlük hayatta yer alan olay örnekleri üzerinden hatırlatma amacıyla soru cevap etkinliği yapılır. Verilen olayların ayrık olup olmama durumlarını ayırt etmek için kısa cevaplı sorular sorulur; öğrencilerin önceki sınıf seviyelerinde ele alınan olasılık kavramlarına ve olay çeşitlerine dair ön bilgiye sahip olup olmadığına, bu bilgileri kullanmaya istekli olup olmadığına dair gözlem yapılır.

Olayların olasılığı, öğrencilerin olasılığa dair ön bilgileri üzerine kurulur. Öğrencilere bir olaylı deneyler ve iki olaylı deneyler içeren gerçek yaşam durumlarından örnekler sunulur. Öğrencilerin bu örnekler üzerinden verilen olayların olasılığına ilişkin tahminde bulunmaları sağlanır. Sınıf içi tartışma yoluyla hangi durumlarda bir olay, hangi durumlarda birden çok olay olduğunu öğrencilerin ayırt etmeleri beklenir.

Örnek durumlar, öğrenciler için anlamlı ve ilgilerini çekebilecek nitelikte belirlenir. Birden çok olay içeren durumların olasılığının deneysel ve teorik olarak incelenmesi amacıyla öğrencilere bilgi toplamaya ihtiyaçları olduğu fark ettirilir. Ayrıca öğrencilerin, toplayacağı bilginin veriye dayalı olması gerektiğinin farkında olması sağlanır. Bu farkındalığın öğrencilerde olayların olasılığını araştırmaya yönelik merak uyandırması beklenir.

MAT.9.7.1
Bu sınıf seviyesinde en çok üç olaylı deneylere yer verilmelidir. Verilen örnek durumlardan hareketle öğrencilerden fikirler alınarak olayların olasılığına ilişkin sınıf içi tartışma süreci yürütülür (SDB2.1). Öğrencilerin deneylerin bir olay veya birden çok olaydan oluşup oluşmadığını keşfetmeleri, sınıf içi tartışmalar yoluyla sağlanır. Öğrencilerin gözlem yapabileceği, çıktıların eş olasılıklı olduğu bir olay seçilir. Seçilen olayın -sınıf ortamında deney yapılmasını kolaylaştırması açısından- hilesiz iki sayı küpü atılması ve küplerin üst yüzeylerine gelen sayıların toplamının alınması, farklı renkte eş parçalara ayrılmış çarkların çevrilmesi ve renklerin kaydedilmesi gibi deneyler olmasına dikkat edilir. Sınıf ortamına ve imkânlara uygun başka deneyler de tasarlanabilir (OB7).

Seçilen olaya ait, sınıf ortamında yapılan deneyde gözlenen olayın çıktı sayısı ve toplam deneme sayısı not edilerek veri toplanır (OB7). Toplanan verilerin kaydedilmesi ve düzenlenmesi için çetele ve sıklık tabloları kullanılır (OB7). Toplanan veriler sütun grafikleri ile görselleştirilebilir veya toplam sıklıklar özetlenebilir (OB7). Öğrencilerin topladıkları verilere dayanarak ele alınan olayın olasılık değerini tahmin etmeleri sağlanır.

Bu çalışmalarda öğrenciler, gruplara ayrılır. Grup çalışmasında grup üyelerinin her birine farklı görevler (deneyin yapılması, çıktı sayılarının kaydedilmesi, kaydedilen verilerin görselleştirilmesi gibi) verilerek ekip çalışması yoluyla iş birliği sağlanır (SDB2.2, D16.3). Elde edilen veriler (olayın çıktı sayısı ve toplam deneme sayısı) oranlanarak olayların göreli sıklıkları elde edilir. Öğrencilerden göreli sıklık değerleri ile daha önce yaptıkları tahminleri karşılaştırmaları istenir. Göreli sıklıklar sütun grafikleri gibi araçlarla görselleştirilerek olasılık dağılımı oluşturulur. Sıklık dağılımı ile göreli sıklık dağılımı karşılaştırılır. Deneme sayısının artması sonucunda dağılımların şeklinin, merkezinin ve değişebilirliğinin nasıl değiştiği incelenir. Olayların deney sonucunda elde edilen olasılık değeri ile toplam deneme sayısını öğrencilerin ilişkilendirmeleri sağlanır.

Yapılan grup çalışmaları, grup ve akran değerlendirme formları ile değerlendirilebilir.

Yapılan deneyde tekrar sayısının artırılması ile elde edilen çıktılara ilişkin dağılımda nelerin değişeceğine dair kısa cevaplı sorular sorularak öğrencilerin deneydeki tekrar sayısının yeterli olup olmadığı ile ilgili şüphe duymaları amaçlanır (E3.9). Öğrencilere çalışma kâğıdı verilerek sınıf ortamında yapılan deneylerde deneme sayısının artırılması, deneylerin çok tekrarlı olması sağlanmalıdır. Belli sayıda denemeden sonra görselleştirme yapılarak göreli sıklıkların karşılaştırılmasına ilişkin sorular sorulur.

Yapılan deneyin tekrar sayısı, sınıftaki her bir grubun katkısı ve iş birliği ile artırılır (SDB2.2). Grupların yapacağı katkılar ile 25, 50, 100, 150 ve 200 kez yapılan tekrarlar sonucu elde edilen dağılımlarda deneme sayısı arttıkça göreli sıklığın nasıl değiştiği tartışılır; belli bir değere yaklaştığını öğrencilerin gözlemlemeleri sağlanır. İstatistik ve olasılık konuları arasında bağ kurmak için göreli sıklığın değişimi, değişebilirlik kavramı ile ilişkilendirilmelidir.

Sınıf ortamında yapılan deneye ait tekrar sayısı yetersiz kalabilir. Tekrarların sayısını artırmak için teknolojik araçlar kullanılır (MAB5). Seçilen deneye ait tekrar sayısı; istatistik yazılımları veya genel ağda bulunan, kullanıma hazır simülatörler yardımıyla 500, 1000 ve 1500’e çıkarılır. Simülasyon birkaç defa tekrar edilir. Tekrar sayısı arttıkça sıklık tabloları ve dağılımlar güncellenerek önceki dağılımlarla karşılaştırılır. Böylelikle öğrencilerin ele alınan olaylara ait göreli sıklıkların değişebilirliğinin azaldığına yönelik çıkarımlar yapmaları beklenir. Deney esnasında elde edilen verilerin açıklanması ve görselleştirilmesinde poster, deney raporu gibi ürünler istenir.

Yaptıkları çıkarımlarla ilişkili olarak deneyin tekrar sayısının artması durumunda gözlemledikleri olayın olasılık değerinin daha kararlı olacağına dair öğrencilerin bir kanıya ulaşmaları beklenir. Ulaşılan kanıyı destekleyen ve olasılık alanında yaygın olarak bilinen büyük sayılar yasasına değinilir. Bu yasaya göre olayların yapılan tekrarlar ile gözlenen olasılığının tekrar sayısı arttıkça belli bir sayıya yaklaşma eğiliminde olduğu ifade edilir. Büyük sayılar yasasının formülünde limitin yer alması ve öğrencilerin limit konusunu 12. sınıfta görecek olması nedeniyle bu formülden söz edilmez. Öğrencilere olayların olasılığını deneysel olarak incelemeye yönelik bir araştırma ödevi verilebilir.

MAT.9.7.2
İki veya üç olaylı deneylerde (hilesiz iki sayı küpü atıp küplerin üst yüzeylerine gelen sayıların toplamını bulma, hilesiz madenî parayı üç kez havaya atıp üste gelen durumu gözlemleme gibi) teorik olasılık incelenirken olaylara ait çıktılar ve olası tüm çıktılar listelenir. En çok üç olaydan meydana gelen deneylerin örnek uzayını belirlerken olası tüm çıktıların kaydını tutabilmek için sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi farklı temsiller kullanılması; ele alınan deneyin olası tüm çıktılarının görselleştirilmesi önerilmektedir (MAB3). Böylece öğrencilerin tüm olası çıktıları gözlemlemeleri sağlanır (SDB1.2). Ağaç şeması gösterimini kullanan bilim insanlarından Kindi’ye ait çalışmalardan ve bu çalışmaların istatistik ve olasılık alanına katkılarından bahsedilir.

Görselleştirilen tüm olası çıktılar arasından seçilebilecek “ve/veya” içeren durumlar (hilesiz iki sayı küpü atıldığında üst yüzlerine gelen sayıların toplamının 7 gelmesi; hilesiz iki madenî para atıldığında üst yüzlerinde birinin yazı, diğerinin tura gelmesi; 6 eş parçaya bölünen ve 1'den 6'ya kadar numaralandırılmış iki çark çevrildiğinde gelen sayıların çift veya asal sayı olması gibi) sözel olarak ifade edilir. Ardından öğrencilere bir çalışma kâğıdı verilerek etkileşim oluşturabilecek bir grup çalışması kurgulanır (SDB2.2). Öğrencilerden tüm olası çıktılar arasından olaya ait çıktıların sayısını planlı ve bilimsel bir şekilde belirlemeleri, olaya ait çıktı sayısının olası tüm çıktıların sayısına oranıyla ele alınan her bir olayın olma olasılığını hesaplamaları beklenir (E3.7, D3.2). Bu hesaplamalarda örnek uzaydaki her bir çıktının eş olasılıklı olduğuna dikkat çekilir.

Seçilen olaylar “ve/veya” içeren durumlar olabilir ancak koşullu olasılık yorumlaması gerektiren olaylara (hilesiz iki sayı küpü atıldığında üst yüzlerine gelen sayıların toplamının 6 geldiğinin bilinmesi ve sayıların aynı gelmesi gibi) değinilmez. Ele alınan olayların ayrık olma ve ayrık olmama durumlarının incelenmesine de yer verilir. Aynı örnek uzaya ait iki olayın ortak çıktısı yoksa bunların ayrık olaylar, ortak çıktıları varsa ayrık olmayan olaylar olduğu öğrencilere hatırlatılır. Seçilen olayların incelenmesiyle süreç sonunda öğrencilerin ayrık olaylar için  kuralına, ayrık olmayan olaylar için kuralına ulaşmaları beklenir.

Öğrencilerin olayların olasılığına ilişkin tümevarımsal akıl yürütebilmeyi tamamlaması için hesaplanan teorik olasılıkların deneysel olasılıkla ilişkisi ele alınmalıdır. Daha önce belirlenen ve teorik olasılığı hesaplanan olaylar arasından simülasyon kullanımına elverişli bir deney ile derse devam edilir veya hem deneysel hem de teorik olarak incelenebilecek yeni bir deney belirlenir. Ele alınan deneyde gözlenen olaya ait çıktı sayısı ile toplam tekrar sayısı, çetele ve sıklık tabloları kullanılarak kaydedilir. İstenen durum için göreli sıklıklar elde edilerek olasılık tahmini yapılır ve hesaplanan teorik olasılık değerleri ile karşılaştırılır.

Sınıf içinde yapılan deneme sayısı yeterli olmayabileceğinden simülasyon kullanılarak deneme sayısı artırılır (MAB5). Öğrenciler uzun vadede elde edilen sonuçlar ile teorik olasılık değerinin karşılaştırılması için teşvik edilir. Öğrencilerden yapılacak tartışma veya soru cevap etkinliklerinden edindikleri bilgileri sentezleyerek olayların deneysel olasılık değerinin deneme sayısı arttıkça teorik olasılık değerine yaklaşmasına yönelik genelleme yapması beklenir (OB1). Olayların teorik olasılıkları incelenirken tüm olası durumların görselleştirilmesinde kullanılan sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi farklı temsillerin verilen olay bağlamında hangisinin daha uygun olduğuna dair eşleştirme testi kullanılabilir.

Öğrencilere günlük hayatta karşılaşılabilecek veya biyoloji (genetik, kalıtım gibi), coğrafya (meteoroloji tahminleri, yıllık beklenen yağış miktarlarının göreli sıklıkları gibi), ekonomi (ekonomik tahminler, finansal risk hesaplamaları gibi) gibi diğer disiplinlerden seçilecek olasılık problemlerini içeren açık uçlu sorular verilir. Böylelikle öğrenciler, veriye dayalı veya teorik olarak elde edilen olasılık değerlerinin günlük hayattaki karşılığını görür; alacakları kararlarda daha esnek davranmayı ve belirsiz ya da yeni durumlara uyum sağlamayı içselleştirir (SDB3.1, SDB3.2).

Öğrencilere olayların olasılığını gözleme dayalı tahmin etme ve tümevarımsal akıl yürütme becerilerinin bileşenlerini bütünsel olarak değerlendirebilme amacı ile performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden dört olaydan meydana gelen olayların olasılığını içeren gerçek yaşam durumlarına ilişkin değerlendirmeler yapmaları istenir. Örneğin spor müsabakalarında oyuncu performanslarının yıllara göre istatistikleri incelenerek öğrencilerden olayların olasılıklarını hesaplamaları ve elde ettikleri sonuçlardan hareketle bir karara ulaşmaları beklenir.

(*) Büyük sayılar yasasına ilişkin araştırma yapılması, yapılan araştırmaların özgün ürünlerle (poster, bilgi görseli gibi) sunulması veya bilimsel bir raporla paylaşılması istenir. Olayların olasılığı, düzgün çok yüzlü materyaller (düzgün sekiz yüzlü, düzgün on iki yüzlü gibi) kullanılarak ele alınır.

Öğrencilerden olayların örnek uzayını belirlerken olaylara ait çıktıların kaydını tutabilmek için kullanılan sistematik liste, tablo, ağaç şeması gibi farklı temsiller arasında hangisinin verilen bağlama uygun olduğunu eleştirel bir bakış açısıyla değerlendirmesi istenir. Yapılan seçimin gerekçelendirilmesine yönelik çalışma kâğıdı hazırlanır.

Ele alınan deneyler iki olay ile sınırlı tutulur.

Olasılık deneyleri, farklı duyulara hitap edebilecek (dokunma ve görme duyularına hitap etmek amacıyla farklı renklerdeki eşit bölmeli çarkları öğrencilerin elle çevirmesi ve elde ettikleri renklerin kaydedilmesi gibi) şekilde tasarlanır.

Olayların olasılığını teorik olarak incelemek için gerekli çıkarımların ve matematiksel ilişkilerin daha erişilebilir kılınması amacıyla destek, ipuçları ve görseller sağlanır. Ulaşılan sonuç ve genellemeleri içeren hatırlatma notları, afiş veya poster ile sınıfta sunularak tartışılır.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza
okutunuz.