1. TEMA: NİCELİKLER VE DEĞİŞİMLER (1)

MAB1. Matematiksel Muhakeme

KB2.7. Karşılaştırma

E3.6. Analitik Düşünme, E3.7. Sistematik Olma

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D7. Estetik, D14. Saygı, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık

MAT.12.1.1. Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerine ilişkin muhakeme yapabilme
a) Sayı örüntülerinin ardışık terimlerini belirler.
b) Ardışık terimler arasındaki ortak fark/oran (çarpan) ilişkisini belirler.
c) Sayı örüntülerinin her bir terimini belirlediği ortak farkı/oranı kullanarak ifade eder.
ç) Ortak farkı/oranı kullanarak örüntülerin genel terimini belirler.
d) Aritmetik/geometrik dizilerin sonlu toplamlarına ilişkin varsayımlarda bulunur.
e) Varsayımlarından yararlanıp aritmetik/geometrik dizilerin sonlu toplamları ile ilgili örüntüleri geneller.
f) Aritmetik/geometrik dizilerin sonlu toplamlarına ilişkin genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.
g) Elde ettiği genellemelerden aritmetik/geometrik dizilerin sonlu toplamlarına ilişkin önermeler sunar.
ğ) Sunduğu önermelerin faydasını gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.
h) Aritmetik ve geometrik dizilerin sonlu toplamlarına ilişkin elde edilen önermeleri görsel olarak doğrular ve cebirsel olarak ispatlar.
ı) Aritmetik ve geometrik dizilerin sonlu toplamlarına ilişkin işe koştuğu ispat yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendirir.

MAT.12.1.2. Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar ile gerçek sayı dizilerini karşılaştırabilme
a) Gerçek sayı dizileri ve gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özelliklerini belirler.
b) Gerçek sayı dizileri ve gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özelliklerine ilişkin benzerlikleri listeler.
c) Gerçek sayı dizileri ve gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların özelliklerine ilişkin farklılıkları listeler.     

Gerçek Sayı Dizileri, Aritmetik ve Geometrik Diziler

• Aritmetik ve geometrik diziler, örüntü belirten fonksiyonlardır.
• Dizi, örüntüleri incelemenin matematiksel araçlarından biridir.

aritmetik dizi, dizi, genel terim, geometrik dizi, monoton artan, monoton azalan, ortak fark, ortak oran (çarpan), terim

Öğrenme çıktıları, çalışma kâğıdı ve performans görevi ile değerlendirilebilir.

Öğrencilere farklı aritmetik ve geometrik dizi örneklerinin sunulacağı ve bu dizilerin toplamlarına ilişkin önermeler geliştirilip bu önermelerin gerçek yaşam durumları bağlamında değerlendirileceği bir performans görevi verilebilir. Bu performans görevi, analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Gerçek sayı dizileri ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar birlikte incelenip ilişki kurulduktan sonra öğrencilere bu dizi ve fonksiyonların gerçek yaşam durumlarına yansımalarını araştırmayı gerektiren bir performans görevi verilebilir. Performans görevleri, analitik dereceli puanlama anahtarı kullanılarak değerlendirilebilir.

Öğrencilerin önceden edindikleri bilgilerden sayı örüntüleri hakkında çıkarım yapabildikleri ve doğrusal değişim içeren bir durumu doğrusal fonksiyonun cebirsel ifadesi olarak genelleyebildikleri kabul edilmektedir. Ayrıca cebirsel temsilleri verilen üstel fonksiyonların istenen değerlerini bulabildikleri ve üstel değişimi yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere farklı sayı örüntüleri içeren çalışma kâğıtları verilerek örüntülerin farklı elemanlarını veya kuralını bulma çalışmaları yaptırılır. Öğrencilere cebirsel temsilleri verilen üstel fonksiyonların istenilen değerlerini bulmalarına ve üstel değişimi yorumlamalarına yönelik hazır bulunuşluk testi yaptırılır. Tespit edilen hataları veya öğrenme eksikliklerini gidermek için gerekli açıklama, hatırlatma ve kavramlar arası ilişkilendirmeler yapılır.

Öğrencilerin örüntü bilgilerinden yararlanarak örüntünün terimlerinin bir dizi oluşturduğu fikri üzerine tartışmaları sağlanır. Doğrusal ilişki içeren bir gerçek yaşam durumundan elde edilen örüntünün tablo ve cebirsel temsilinin bulunması çalışmalarına yer verilerek bu ilişkiyi temsil eden fonksiyonun cebirsel ifadesi ile artış miktarı ve ilk terim ilişkilendirilir.

Doğrusal değişim ile üstel değişimin karşılaştırılması amacıyla uygun gerçek yaşam durumları (her gün belirli bir sayfa sayısı kadar kitap okuma, bir pastayı dilimlere ayırma, kâğıt katlama gibi) incelenir.

MAT.12.1.1
Öğrenciler gruplara ayrılarak her gruba farklı sayı örüntüleri içeren çalışma kâğıdı verilebilir. Böylelikle öğrencilerin iletişim ve iş birliği becerilerinin geliştirilmesine olanak sağlanır (SDB2.2). Öğrencilerin sayı örüntülerindeki ardışık terimleri inceleyerek bu terimler arasındaki fark ya da orana odaklanmaları istenir. Her grubun kendi sayı örüntülerindeki ardışık terimler arasındaki aritmetik ilişkileri ortaya çıkarmaları istenir. Öğrencilerden ardışık terimleri arasındaki farkı ya da oranı sabit olan örüntüleri ve terimleri arasında bu tür bir ilişki olmayan örüntülerden ayırt edebilmeleri beklenir. Bu örüntülerin terimlerini ifade etmek için adım sayısı n sıfır hariç bir doğal sayı olmak üzere örüntünün n. teriminin  şeklinde temsil edildiği ifade edilerek farklı örnekler üzerinden örüntünün genel terimini bulmaya yönelik çalışmalar yapılır (MAB3). Bu dizilerin genel terimlerinin elde edilen ortak fark/ortak oran ile ifade edileceği üzerinde durulur. Bu çalışma sürecinde öğrencilerin kendi düşüncelerini etkin bir şekilde ifade edebilmeleri, arkadaşlarıyla düşüncelerini paylaşabilmeleri ve diğerlerinin düşüncelerini saygı çerçevesinde dinleyerek sözlü/sözsüz iletişimde bulunabilmeleri desteklenir (SDB2.1, SDB2.2, D14.1). Aritmetik ve geometrik dizi tanımları birlikte verilir. Öğrencilerden verilen farklı aritmetik ya da geometrik dizilerin ilk n teriminin toplamının ne olabileceği hakkında varsayımlarda bulunmaları istenir. Bu toplamların dizinin genel terimi ile ifade edilmesine dair genellemeler elde edilir. Öğrencilerin farklı örnekler üzerinden ulaştıkları genellemeleri varsayımları ile karşılaştırmaları beklenir. Buradan yola çıkarak öğrencilerin “aritmetik dizilerde ilk n terimin toplamının ilk terim ile son terim toplamının terim sayısının yarısı ile çarpımına eşit olduğu”, “ardışık terimleri arasındaki ortak oranı r olan bir geometrik dizisinin ilk n terimin toplamının ye eşit olduğu” gibi önermeleri elde edebilecekleri çalışmalar yapılır (D17.2). Elde edilen önermeler gerçek yaşam durumlarında ve farklı problem durumlarında (birikim yapma, bir sonraki doğum gününün hangi güne geleceğini belirleme, belli bir yükseklikten serbest bırakılan topun her defasında belirli bir oranda sıçradığı durumlar gibi) işe koşularak değerlendirilir.

Sonlu aritmetik ve geometrik dizilerin toplamlarına ilişkin elde edilen önermelerin görsel olarak doğrulanması ve cebirsel olarak ispat edilmesi sağlanır. Görsel doğrulamalarda oluşan şekillerin estetik açıdan değerlendirilmesi yapılır (D7.1). İspat adımlarının sistematik ve aşamalı olarak yapılması önemlidir (E3.6, E3.7). Görsel doğrulamalar ve farklı cebirsel ispatlar incelenerek kullanışlılık açısından değerlendirilir.

Öğrencilerden ekonomi ve fizik gibi alanlarla ilgili farklı aritmetik ve geometrik dizi örnekleri sunmaları ve bu dizilerin toplamlarını belirlemeleri istenir. Öğrencilerin buldukları dizi örneklerinden seçilenler, dijital içerik üretme ve paylaşma becerilerini geliştirmelerine destek olacak biçimde çevrim içi araçlardan da yararlanılarak sergilenir (OB2, MAB5). Öğrencilere farklı aritmetik ve geometrik dizi örneklerinin sunulacağı ve bu dizilerin toplamlarına ilişkin önermeler geliştirilip bu önermelerin gerçek yaşam durumları bağlamında değerlendirileceği bir performans görevi verilebilir.

MAT.12.1.2
Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar ile gerçek sayı dizilerinin özelliklerinin ilişkilendirilmesi için öğrencilere farklı fonksiyon ve dizi örnekleri sunulur. Örneğin rasyonel referans fonksiyon ile dizisi incelenir. Rasyonel referans fonksiyonun alacağı değerler ile dizisinin terimlerinin karşılaştırılması sağlanır. Bu bağlamda rasyonel fonksiyonun değerleri ile dizisinin hangi terimlerinin eşleştiği sorusuna cevap aranır. Daha sonra fonksiyonun görüntü kümesinde eşleşmeyen elemanların olup olmadığı sorularak bu elemanlardan bazılarının tanım kümesinden yararlanılarak belirlenmesi istenir. Fonksiyonların nitel özelliklerinden artanlık-azalanlık, dizilerde monoton artan-monoton azalan olarak ifade edilir. Doğrusal ve karesel fonksiyonlardan faydalanılarak monoton olmayan diziler için örnek teşkil edecek genel terimlerin yazılması çalışmalarına yer verilir. Benzerliklerin ve farklılıkların incelendiği fonksiyon ve dizi örnekleri incelenir. Fonksiyonlar ile gerçek sayı dizileri arasındaki ilişkiler, “Diziler, tanım kümesi sıfır hariç doğal sayılar olan fonksiyonlardır.” gibi çıkarımlarla ortaya konur. Gerçek sayı dizileri ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar birlikte incelenip ilişki kurulduktan sonra öğrencilere bu dizi ve fonksiyonların gerçek yaşam durumlarına yansımalarını araştırmayı gerektiren bir performans görevi verilebilir.

(*) Öğrencilerden aritmetik ve geometrik diziler dışında farklı gerçek sayı dizilerini araştırmaları, bu dizilerin aritmetik ve geometrik diziler ile benzerlik ve farklılıklarını ortaya koymaları istenir. (*) Rekürsif (öz yinelemeli) ve iteratif (yinelemeli) diziler ile bu dizilerin algoritma ve akış şemalarının yazımı araştırma ödevi olarak verilerek öğrencilerden örnek uygulamalar istenir. (*) Ayrıca aritmetik dizilerin öz yinelemeli dizilere dönüşen örneklerine yer verilir. Toplam sembolleri ve dizilerin bu sembollerle gösterimleri ile ilgili araştırma ödevi verilir. Aritmetik ve geometrik seriye örnekler verilerek seri toplamları ile ilgili örneklere yer verilir.

Aritmetik ve geometrik diziler konusuna önceden öğrendikleri sayı örüntüleri hakkında yapılacak çalışmalarla başlanır. Öğrencilerden sınırlı sayıda elemanı olan sayı örüntülerini girdi (adım sayısı) ve çıktı (örüntünün elemanı) olarak elektronik tablolarda işleyerek örüntünün kuralını bulmaları, bu fikri aritmetik ve geometrik dizilere uyarlamaları istenir.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.