1. Tema: Nicelikler Ve Değişimler
MAB2. Matematiksel Problem Çözme
KB2.14. Yorumlama
E3.6. Analitiklik, E3.7. Sistematiklik
SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme)
D16. Sorumluluk
OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık
MAT.T.11.1.1. Niceliklerin doğru orantılı değişimlerini gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax fonksiyonları bağlamında yorumlayabilme
a) Niceliklerin doğru orantılı değişimlerini grafik veya tablo kullanarak inceler.
b) Niceliklerin doğru orantılı değişimlerini gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax fonksiyonlarına dönüştürür.
c) Niceliklerin doğru orantılı değişimleri ile gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax fonksiyonlarının eğimi ve nitel özellikleri (işareti, sıfırı, artanlığı-azalanlığı) arasındaki ilişkileri sözel olarak ifade eder.
MAT.T.11.1.2. Niceliklerin ters orantılı değişimlerini ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonları bağlamında yorumlayabilme
a) Niceliklerin ters orantılı değişimlerini grafik veya tablo kullanarak inceler.
b) Niceliklerin ters orantılı değişimlerini ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonlarına dönüştürür.
c) Niceliklerin ters orantılı değişimleri ile ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonlarındaki a değeri ve fonksiyonların nitel özellikleri (işareti, artanlığı-azalanlığı) arasındaki ilişkileri sözel olarak ifade eder.
MAT.T.11.1.3. Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri içeren problemleri çözebilme
a) Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenleri (niceliklerdeki değişim miktarı, artma-azalma oranı gibi) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
b) Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenlerin aralarındaki ilişkileri belirler.
c) Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x) = b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklerin problem bağlamındaki temsillerini farklı temsillere dönüştürür.
ç) Dönüştürdüğü temsillerin problem bağlamındaki anlamını ifade eder.
d) Elde ettiği ve yorumladığı farklı temsillere dayalı problemin çözümü için strateji oluşturur.
e) Belirlediği stratejiyi uygulayarak problemi çözer.
f) Elde ettiği çözümü uygun yöntemleri seçerek doğrular.
• Gerçek SayılardaTanımlı f(x)=ax Fonksiyonları
• ℝ - {0} da Tanımlı g(x)=b/x Fonksiyonları
• Fonksiyonlardan Elde Edilen Denklem ve Eşitsizlikler
- Gerçek yaşam durumları, fonksiyonlarla modellenebilir.
- Niceliklerin doğru orantılı ve ters orantılı değişimleri fonksiyonlarla temsil edilebilir.
- Fonksiyon grafikleri, cebirsel denklem ile eşitsizliklerin incelenmesi ve yorumlanmasının temel araçlarından biridir.
artanlık-azalanlık, değişken, doğru orantı, doğrusal fonksiyon, doğrusal ilişki, eğim, fonksiyonun işareti, kök, orantı sabiti, ters orantı
Öğrenme çıktıları; çalışma kâğıdı, açık uçlu sorular, araştırma ödevi ve performans görevi ile değerlendirilebilir.
Öğrencilere gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax ve ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarının nitel özellikleriyle matematiksel temsilleri arasındaki ilişkilere yönelik açık uçlu soruların yer aldığı çalışma kâğıdı verilebilir. Çalışma kâğıdında ortaya çıkan sonuçlar, analitik dereceli puanlama anahtarı kullanılarak değerlendirilebilir.
Öğrencilere ekonomi, fizik, kimya, coğrafya alanlarına ilişkin gerçek yaşam durumlarında karşılaşılan gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax ve ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları ile modellenebilen örneklerin belirlenmesine yönelik bir araştırma ödevi verilebilir. Verilen araştırma ödevi, içerik ve sunum süreçlerini içeren derecelendirme ölçeğiyle değerlendirilebilir.
Gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax ve ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerinde öğrencilerin problemi matematiksel temsillere dönüştürebilme, uygun çözüm stratejileri oluşturabilme, çözümlerini kontrol edebilme becerilerini değerlendirmek amacıyla öğrencilere verilen performans görevi analitik dereceli puanlama anahtarı kullanılarak değerlendirilebilir.
Öğrencilerin bir cebirsel ifadenin değerini değişkenin alacağı farklı sayı değerleri için hesaplayabildiği, dik koordinat sistemini tanıdığı, sıralı ikilileri bu düzlemde gösterebildiği, 9. sınıfta öğrendikleri bilgilerden hareketle doğrusal fonksiyonlardaki niceliklerin birbirine bağlı değişimlerini fark edebildiği, cebirsel ve grafik temsilleri üzerinden gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonlarının nitel özelliklerini ve eğimini inceleyebildiği, bu fonksiyonların nitel özelliklerine dair çıkarımlar yapabildiği, bu fonksiyonların cebirsel ve grafik temsili arasında geçiş yapabildiği kabul edilmektedir.
Benzer şekilde öğrencilerin 10. sınıfta öğrendikleri bilgilerden hareketle cebirsel ve grafik temsilleri üzerinden ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarının nitel özelliklerini inceleyebildiği, bu fonksiyonların nitel özelliklerine dair çıkarımlar yapabildiği, bu fonksiyonların cebirsel ve grafik temsili arasında geçiş yapabildiği kabul edilmektedir.
Öğrencilerin dik koordinat sisteminin özelliklerine dair ön bilgilerini, 9. sınıfta öğrendikleri gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonları ve bu fonksiyonların matematiksel temsilleri ve nitel özellikleri ile ilgili sahip oldukları bilgi ve beceri düzeylerini, olası kavram yanılgılarını, ilgi ve ihtiyaçlarını tespit etmek için hazır bulunuşluk testleri yapılabilir. Ayrıca bu bilgi ve becerileri belirleyebilmek için öğrencilere gerçek yaşam durumu örneklerini içeren açık uçlu sorular sorulabilir.
Öğrencilerin 10. sınıfta öğrendikleri ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarının matematiksel temsilleri ve nitel özelliklerine ilişkin sahip oldukları bilgi ve beceri düzeylerini, olası kavram yanılgılarını, ilgi ve ihtiyaçlarını tespit etmek amacıyla soru cevap tekniği uygulanabilir. Bu süreçte ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarının matematik yazılımları kullanılarak çizilen grafik temsillerinden yararlanılabilir.
Öğrencilere önceki öğrenmelerine dayanarak fikir yürütmeleri mümkün olan doğru, doğrunun eğimi, doğrusal ilişki, doğrusallık kavramlarına ilişkin sorular sorulabilir. Öğrencilere niceliklerin doğru orantılı değişimlerine yönelik (sabit bir hızla hareket eden aracın hızına bağlı olarak belirli bir sürede aldığı yolun nasıl değişeceği, belirli bir yoğunluğa sahip maddenin kütlesindeki değişime göre hacminin nasıl değişeceği gibi) sorular sorulabilir. Benzer şekilde öğrencilerden niceliklerin ters orantılı değişimlerine yönelik (bir hareketlinin hızındaki değişime göre belirli uzaklıktaki bir noktaya ulaşma süresinin nasıl değişeceği, bir musluktan birim zamanda akan su miktarındaki değişime göre bu musluğun doldurduğu deponun dolma süresinin nasıl değişeceği gibi) sorular sorulabilir. Sorulara verilen cevaplar sınıf ortamında tartışılabilir. Böylelikle öğrencilerin niceliklerin doğru orantılı veya ters orantılı değişimlerine ilişkin ön bilgileri değerlendirilebilir ve desteklenebilir.
MAT.T.11.1.1
Gerçek yaşam durumlarında karşılaşılan doğru orantılı değişimlere ilişkin nicelikler, hazırlanan tablolara işlenir. Tablolardan elde edilen verilerden hareketle dik koordinat sisteminde grafik çizimi yapılır (MAB3). Tablo veya grafikler yardımıyla niceliklerin doğru orantılı değişimleri incelenir (OB4). Elde edilen verilerden hareketle niceliklerin doğru orantılı değişimleri gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonlarına dönüştürülür.
Örneğin yoğunluğu 2 kg/m³ olan bir maddenin kütlesinin değişimine bağlı olarak hacminde meydana gelen değişim, hazırlanan tablo ve grafik kullanılarak incelenir (MAB3). Elde edilen grafikten hareketle maddenin kütlesinin hacmine oranının sabit bir değere eşit olacağı görülür ve maddenin hacmine göre kütlesini veren uygun koşullarda tanımlı f(x)=2x fonksiyonu elde edilir. f(x)=ax fonksiyonlarındaki a eğim değeri ile orantı sabitinin ilişkilendirilmesi sürecinde matematik yazılımları veya diğer çevrim içi araçların etkin şekilde kullanılması sağlanır (OB2, MAB5).
Öğrencilerin gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonlarının grafiğinden ve tablo verilerinden yararlanarak “Doğru orantılı değişimlerde, değişimleri temsil eden fonksiyonun eğim değeri orantı sabitine eşit olur.“, “Bir hareketlinin sabit bir hızla zamana bağlı alacağı yolu veren fonksiyon artandır.“ gibi açıklamalar yapmaları beklenir. Böylelikle gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonlarının eğiminin ve nitel özelliklerinin niceliklerin doğru orantılı değişimleri ile ilişkilendirilmesi sağlanır.
MAT.T.11.1.2
Niceliklerin ters orantılı değişimlerini ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları bağlamında yorumlayabilme süreçleri, niceliklerin doğru orantılı değişimlerini gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonları bağlamında yorumlayabilme süreçleri ile benzer şekilde gerçekleştirilir.
Burada özel olarak niceliklerin ters orantılı değişimlerine göre oluşturulan tablolar ve çizilen grafiklerden hareketle elde edilen orantı sabiti ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarındaki değeri ile ilişkilendirilir.
Örneğin bir atletin 100 metre uzunluğundaki bir yarışı bitirme süresi x saniye kabul edilir. Atletin yarış boyunca ortalama hızını veren g fonksiyonu için orantı sabiti b=100 olarak belirlenir. Bu durumda pozitif gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu g(x)=100/x olarak bulunur. Öğrencilerin ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarının grafiğinden ve tablo verilerinden yararlanarak “Ters orantılı değişimlerde, değişimleri temsil eden fonksiyonda değeri orantı sabitine eşit olur.“, “Bir atletin belirli bir uzunluktaki yarışı bitirme süresine bağlı ortalama hızını veren fonksiyon azalandır.“ gibi açıklamalar yapmaları beklenir. Böylelikle ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarının nitel özelliklerinin niceliklerin ters orantılı değişimleri ile ilişkilendirilmesi sağlanır.
MAT.T.11.1.3
Gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri içeren problemler coğrafya (harita-ölçek ilişkisi), ekonomi (bir ürünün talep-fiyat eğrisi), fizik (kuvvet, hareket) ve kimya (yoğunluk, çözünürlük miktarı) gibi bağlamlarda incelenir (OB3). Bu problemlerde denklem ve eşitsizliklere ilişkin bağımlı-bağımsız değişken, orantı sabiti, eğim ve çözüm kümesi gibi matematiksel bileşenler belirlenir. Bu bileşenlerin aralarındaki ilişkiler kullanılarak f(x)=k, f(x)>k, f(x)≤k, g(x)=k, g(x)>k, g(x)≤k, f(x)<g(x) gibi denklem ve eşitsizliklerin tanımlanması sağlanır.
Örneğin coğrafyada 1/10 000 ölçekli bir haritada iki şehir arasındaki bilinen harita uzaklığına göre bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklığın bulunmasına veya yorumlanmasına ilişkin problemler pozitif gerçek sayılarda tanımlı f(x)=10 000x fonksiyonu kullanılarak incelenebilir. Benzer şekilde A ve B şehirlerini bağlayan bir yolun üzerinde bulunan, birbirlerine doğru zıt yönlerde 80 km/sa. ve 120 km/sa. sabit hızlarla hareket eden iki hareketlinin başlangıçta aralarındaki uzaklığın 600 km olduğu bir problem durumu incelenebilir. Bu hareketlilerin kaç saat sonra karşılaşacakları, hareket süresi ile hareketlilerin aldığı toplam yol arasındaki doğru orantılı ilişkiden yola çıkılarak elde edilir. Uygun tanım aralığına sahip f(x)=200x (süreye bağlı hareketlilerin aldığı toplam yol fonksiyonu) yardımıyla f(t)=600 eşitliğini sağlayan hareket süresi değeri 200t=600 denklemi çözülerek bulunur. Bunun dışında bu problem durumunda iki hareketlinin ilk kez karşılaştıkları ana kadar hangi zaman diliminde aralarındaki mesafenin 100 km’den daha az olacağı eşitsizlik kullanılarak incelenebilir. Ekonomide bir malın Türk lirası cinsinden fiyatına göre o malın talep edilen miktarını modelleyen pozitif gerçek sayılarda tanımlı g(x)=2000/x gibi fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikler oluşturulabilir (OB3). Bu denklem ve eşitsizlikler kullanılarak bir malın Türk lirası cinsinden fiyatı ile talep miktarı arasında oluşabilecek ters orantılı ilişki incelenir. Elde edilen denklem ve eşitsizliklerin matematiksel temsilleri arasında (sözel, tablo, grafik, cebirsel) dönüşüm yapılır (MAB3). Öğrencilerin problemin gerektirdiği temsiller arası geçişleri yapabilmesi ve problem çözümlerine analitik ve sistematik bir şekilde yaklaşabilmesi için elektronik tablolardan ve matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, E3.6, E3.7, MAB5).
Verilen problem durumlarına ilişkin denklem ve eşitsizliklerin çözümlerine ulaşabilmeleri için öğrencilerin belirli değerlerle denklem veya eşitsizliği test etme, orantı sabitini belirleme, gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonlarındaki a ve b değerleri ile orantı sabitini ilişkilendirmeleri beklenir. Bunun için öğrencilerin elektronik tablolardan ve grafik temsilinden yararlanma gibi farklı yöntemleri kullanmaları teşvik edilir (OB2, MAB5). Verilen farklı problem durumlarında uygun bir strateji seçilerek denklem ve eşitsizlikler çözülür. Fonksiyon grafiklerinin kullanılması ve matematik yazılımlarından yararlanılması gibi farklı yöntemlerle çözümlerin doğruluğunun kontrol edilmesi sağlanır (OB2, MAB5). Bu sürecin sonunda öğrenciler, öğrendiklerini öz değerlendirme formu kullanarak değerlendirebilir (SDB1.2). Öğrencilere gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax veya ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen gerçek yaşam problemleri belirlemeye ve çözmeye yönelik performans görevi verilebilir. Öğrencilerin verilen performans görevini zamanında ve eksiksiz teslim etmeleri beklenir (D16.3).
Öğrencilere niceliklerin doğru orantılı veya ters orantılı değişimlerini cebirsel olarak ifade edebilme, grafik temsillerini ortaya koyabilme ve yorumlayabilmeye yönelik kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılabilir. İş birlikli öğrenme temelinde öğrencilere gerçek yaşam durumlarında doğru orantılı veya ters orantılı ilişkileri tartışabileceği, grafik yorumlarını yapabileceği grup çalışmaları, ortak sunumlar ve projeler yaptırılabilir. Ekonomi, fizik, kimya gibi farklı disiplinlerde geçen doğru orantılı veya ters orantılı ilişkilerin bulunduğu durumların keşfedilmesine ve bu durumların matematiksel temsillerle ilişkilendirilmesine yönelik görevler verilebilir. Öğrencilere doğrusal fonksiyonlara ilişkin bilgi ve becerilerini kullanabilecekleri (elektronik tablo hazırlama, matematik yazılım programları kullanma gibi) farklı uygulamalar yaptırılabilir.
Öğrencilere gerçek yaşamla ilişkili örneklerden hareketle niceliklerin doğru orantılı değişimlerini gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax fonksiyonları, ters orantılı değişimlerini ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları bağlamında yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılabilir.
Öğrencilere gerçek sayılarda tanımlı f(x)=ax ve ℝ - {0} da tanımlı g(x)=b/x fonksiyonları ile ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikleri kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemleri ile ilgili performans görevleri için daha fazla zaman verilerek geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılabilir. Öğrenciler için bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenerek bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulabilir.
Güncelleme tarihi: 02.09.2026