7.TEMA: VERİDEN OLASILIĞA

-

KB2.5. Sınıflandırma, KB2.16.1. Tümevarımsal Akıl Yürütme, KB2.17. Değerlendirme

E1.1. Merak, E3.6. Analitik Düşünme, E3.8. Merak Ettiği Soruları Sorma

SDB1.2. Öz Düzenleme/Kendini Düzenleme, SDB2.1. İletişim, SDB3.3. Sorumlu Karar Verme

D14. Saygı

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB4. Görsel Okuryazarlık

MAT.7.7.1. Bir olayın ve tümleyeninin olasılığına ilişkin tümevarımsal akıl yürütebilme
a) Bir olayın olasılığını hesaplamaya ilişkin olası tüm çıktıları gözlemler.
b) Bir olayın ve tümleyeninin olasılığını hesaplamak için matematiksel ilişkiyi bulur.
c) Bir olayın ve tümleyeninin olasılığının ilişkisine yönelik genelleme yapar.
MAT.7.7.2. Aynı deneye ait olayların eşit olasılıklı olma durumlarını değerlendirebilme
a) Eşit olasılıklı olan ve eşit olasılıklı olmayan olaylara ilişkin ölçüt belirler.
b) Olayların eşit olasılıklı olma veya olmama olasılığına ilişkin hesaplama yapar.
c) Hesaplama sonuçlarını belirlediği ölçütlerle karşılaştırır.
ç) Karşılaştırmalarına ilişkin yargıda bulunur.
MAT.7.7.3. Olayları ayrık olma ve ayrık olmama durumlarına göre sınıflandırabilme
a) Olayların ayrık olma ve ayrık olmama durumlarını olaylara ait çıktıların ortak olup olmamasını ölçüt alarak belirler. 
b) Olayları ayrık olma ve ayrık olmama durumuna göre ayrıştırır.
c) Ayrık olan ve ayrık olmayan olayları tasnif eder.
ç) Olayları ayrık olma veya olmama durumuna göre etiketler.

Teorik Olasılık

Genellemeler
• Bir olayın olasılığı, olaya ait çıktıların sayısının örnek uzaydaki tüm olası çıktıların sayısına oranıdır.
• Aynı örnek uzaya ait ayrık olayların çıktıları birbirinden farklıdır.
• Aynı örnek uzaya ait ayrık olmayan olaylar en az bir tane ortak çıktıya sahiptir.
• Bir olayın olasılığı ile tümleyeninin olasılığının toplamı 1’dir.
• Bir olay ve bu olayın tümleyeni ayrık olaydır. 
Anahtar Kavramlar
ayrık olaylar, ayrık olmayan olaylar, eşit olasılık, olasılık değeri, örnek uzay, tümleyen olay
Sembol ve Gösterimler

-

Öğrenme çıktıları; izleme testleri, doğru-yanlış, eşleştirme ve açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı, gözlem formu, performans görevi, öz, akran ve grup değerlendirme formları ile değerlendirilebilir.
Her bir çıktıdan sonra öğrencilere izleme testleri uygulanabilir. Bu temada öğrenme çıktılarının yansımalarını kaydetmek için gözlem formu oluşturulması beklenebilir.
Ayrık olay, ayrık olmayan olay, eşit olasılıklı ve tümleyen olay ile ilgili öğrencilerden grup çalışmalarıyla resim, afiş gibi görseller hazırlamaları gereken bir performans görevi istenebilir. Bu performans görevinin değerlendirilmesinde içerik, doğruluk, görsel materyal, bilgi toplama, bilgi düzenleme ve veri görselleştirme gibi ölçütlerden oluşan bütüncül veya analitik dereceli puanlama anahtarı kullanılabilir. Performans görevlerinin ardından öz, akran ve grup değerlendirme formlarını doldurmaları istenebilir, süreçte gösterdikleri performanslara ve yansıtmalara ilişkin görüş sağlanabilir.
Performans ürünü, çalışma kâğıtları ve izleme testleri sonuç değerlendirme olarak kullanılabilir

Öğrencilerin bir olayın olasılık değerinin 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dâhil) olduğunu yorumlayabildikleri, herhangi bir olayın olasılığını az veya çok olasılıklı şeklinde yapılandırabildikleri, olasılık değerlerini kesir, ondalık gösterim veya yüzde olarak temsil edebildikleri, bir olayı, bir deneyden elde edilen bir çıktı veya çıktılar grubu olarak açıklayabildikleri ve olayların olasılığına dair matematiksel bir genelleme geliştirebildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilerin hazır bulunuşluk düzeylerinin belirlenmesi ve eksiklerinin giderilmesi için sayı küpleri kullanarak bir olayın olasılığının 0 ile 1 arasında (0 ve 1 dâhil) olduğunu anlamaya yönelik olasılık spektrumu içeren bir çalışma gerçekleştirilebilir. Gözlem formu kullanılarak öğrencilerin temaya yönelik önceki sınıf düzeylerindeki öğrenme çıktıları değerlendirilebilir.

Seçilen bir deneyin (sayı küpünün havaya atılması gibi) çıktıları hakkında öğrencilerin tartışmaları sağlanır. Deney yapılmadan önce öğrencilerden olası bütün çıktıları nasıl listeleyebileceklerini belirlemeleri istenir.

MAT.7.7.1 
Bu sınıf düzeyinde seçilen olayların teorik olasılıkları üzerinde akıl yürütülür. Öğrencilerin seçilen bir deneyde (örneğin madenî para atma deneyi) incelenen olayın (örneğin tura gelmesi) olasılığı ile ilgili örnek uzayı ve olaya ait çıktıları gözlemlemeleri istenir. Herhangi bir deney sonucu elde edilebilecek tüm çıktıların tamamının örnek uzay, örnek uzaydan elde edilebilecek bütün alt grupların ise birer olay olduğunu ifade etmeleri sağlanır. Bu süreçte öğrencilerin deney yapmadan teorik olarak ilerlemeleri sağlanır. Fen bilimleri ile ilişkili bağlamlar seçilerek (kan gruplarının birbirine kan verme durumları gibi) eşit olasılıklı olan ve eşit olasılıklı olmayan olaylar öğrenciler tarafından incelenir (E1.1, E3.8). İncelenen olaylardaki tüm çıktıların liste yöntemi ya da ağaç şeması gibi farklı temsiller ile gösterilmesi istenir (MAB3). Öğrencilerin tahminleri üzerinden seçilen olayın olasılığını hesaplamaya yönelik tekrar eden yapıyı keşfetmeleri sağlanır. Buradan hareketle öğrencilerin bir olayın olasılık değerinin olaya ait çıktıların sayısının, tüm olası çıktıların sayısına oranı olduğuna yönelik genelleme yapmaları ve teorik olasılığı oran ile ilişkilendirmeleri sağlanır. Teorik olasılık hesaplamalarında hile içeren örneklere yer verilmez.

Öğrencilerin bir olayın tümleyeninin olasılığını hesaplamaları için olaylara ait çıktıların ve örnek uzayın listesini incelemelerine fırsat verilir. Öğrencilerin incelediği olayın olma olasılığı ve olmama olasılığına yönelik çıktıları belirleyerek olasılık değerlerini hesaplamaları sağlanır. Olayın olmasına yönelik çıktılar ile olmamasına yönelik çıktıların toplamının örnek uzaya eşit olması durumunun öğrenciler tarafından tartışılması için uygun öğrenme ortamı oluşturulur. Buna bağlı olarak öğrencilerin olayın olma olasılığı ve olmama olasılığını ilişkilendirmeleri sağlanır. Örneğin üzerinde A, B, C ve D harflerinin yazılı olduğu kartların çekilişi ile ilgili bir deneyde seçilen kartın A olması ve olmamasının incelenmesi; sayı küpü atma deneyinde 3 gelmesi ve gelmemesi olayı, para atma deneyinde tura gelmesi ve gelmemesi olayı gibi bağlamlar ele alınabilir. Ele alınan bağlamlarda bir olayın çıktılarının sayısı ile tümleyeninin çıktılarının sayısı arasındaki ilişkilerin öğrenciler tarafından incelenmesi beklenir. Öğrencilerin bir olayın (örneğin, sayı küpünün 3 gelmesi) tümleyeninin (örneğin, sayı küpünün 3 gelmemesi olayı) olasılığını hesaplayabilmeleri için örnek uzaydan seçilen olayın çıktılarını elemeleri gerektiğini fark etmeleri sağlanır.

Öğrencilerin tümleyen olay incelemelerinde bir olayın olma olasılığına dayanarak, o olayın olmama olasılığına yönelik çıkarım yapmaları beklenir. Öğrencilerin bu çıkarımla birlikte farklı deneylerde ele alınan olayların ve tümleyenlerinin olasılığını hesaplamaları ve bu olaylara ait çıktıların sayısını olasılık hesaplamaları ile ilişkilendirmeleri için uygun öğrenme ortamı oluşturulur.Seçilen olayın ve tümleyen olayın örnek uzayının aynı olmasından hareketle öğrencilerin örnek uzay ve tümleyen olayın çıktıları arasında parça-bütün ilişkisini fark etmeleri sağlanır. Burada öğrencilerden beklenen, örneklendirilen olay ikililerinin olasılıklarına dair tekrar eden ilişkiyi keşfetmeleridir. Benzer şekilde incelemelerden sonra öğrencilerden bir olay ve bu olayın tümleyeninin olasılıklarının toplamının “1” olduğuna dair genelleme yapmaları beklenir. Bir olay ve tümleyeninin olasılığı hakkında akıl yürütme yoluyla genelleme yaparken sunduğu nesnel kanıtlar öğrencinin analitik düşünme eğilimini destekler (E3.6, SDB3.3). Olasılık hesabı ile ilgili açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı hazırlanabilir.

MAT.7.7.2
Eşit olasılıklı olayların ele alınmasına aynı örnek uzaya ait olayların çıktı sayıları incelenerek başlanır. Öğrencilerin aynı örnek uzaya ait olayların eşit olasılığa ait olmasına yönelik ”Olayların eşit sayıda çıktıya ait olması gerekir.” ölçütüne ulaşmaları sağlanır. Örneğin en az 3 farklı renkten farklı sayılarda özdeş toplar içeren bir torbadan top çekme deneyi örnek olarak verilebilir. Öğrencilerin torbadan farklı renklerde top çekme olaylarının olasılıklarının incelenmesinde aynı örnek uzaya ait olmaları nedeniyle seçilen olaylara ait çıktı sayılarının eşit olup olmadığını belirlemeleri istenir. Öğrencilerin bu olayların olasılık değerlerinin eşit olmadığını fark etmeleri beklenir. Bu örnekten (özdeş 4 kırmızı, 3 sarı, 2 mavi top bulunan torbadan bir top çekme) yola çıkarak öğrencilere şu sorular yöneltilir: “Kırmızı, mavi ve sarı gelme olasılıklarının eşit olması için top sayılarının nasıl değiştirilmesi gerekir?” veya “Kırmızı, mavi ve sarı gelme olasılıklarının eşit olması için torbaya hangi renkten kaçar top eklenmelidir?” gibi sorulara verilen cevaplar sınıf ortamında tartışılır. Öğrencilerin, örneğin kırmızı top çekme olasılığı ile mavi top çekme olasılığının eşit olması için torbadaki kırmızı top sayısı ile mavi top sayısının eşit olması gerektiğini ve dolayısıyla olasılık değerlerinin de eşit olması gerektiğini fark etmeleri sağlanır. Bu olayların olasılıklarını hesaplamaları ve hesaplamalarının sonuçlarını belirlenen ölçüte göre karşılaştırmaları istenir. Karşılaştırmadan sonra öğrencilerin bu olaylar hakkında “eşit olasılıklı olan olaylar” veya “eşit olasılıklı olmayan olaylar“ şeklinde yargıda bulunmaları sağlanır. Öğrencilere eşit olasılık hesaplama ile ilgili çalışma kâğıdı uygulanabilir.

MAT.7.7.3
Aynı örnek uzaya ait olayların ayrık olma veya ayrık olmama durumlarına ilişkin sayı küpü atma deneyi ele alınır. Öğrencilerden çıktıları liste ya da ağaç şeması ile göstermeleri istenir (OB1, OB4). Sınıf içinde oluşturulan tartışma ortamı ile farklı olayların çıktıları tek bir tabloda düzenlenerek (çift sayı gelme olayı, tek sayı gelme olayı, asal sayı gelme olayı, 2’den büyük sayı gelme olayı gibi) ele alınan olay çiftlerine ait (çift sayı ve tek sayı gelme olayları gibi) çıktıların karşılaştırılması istenir (SDB2.1). Öğrencilerin iki olayın çıktılarının farklı olması durumunu ölçüt olarak almaları sağlanır. Ek olarak, birbirini tümleyen olayların (4 gelmesi olayı ve 4 gelmemesi olayı gibi) ayrık olup olmama durumlarını da incelemeleri beklenir. Öğrencilerden incelenen olayları ayrık olma ya da olmama durumuna göre  ayrıştırmaları ve tasnif ederek etiketlemeleri istenir. Bu temada, iki veya daha fazla olaylı (örneğin, iki sayı küpünün üst yüzünde gelen sayıların toplamının 7 gelmesi olayı, bir sayı küpünün üst yüzünde asal sayı olması ve/veya bir paranın tura gelmesi olayı gibi) deneylere girilmez.

Türk bilim insanlarından Salih Zeki’nin çalışmalarından bahsedilerek olasılık konusundaki çalışmalarına yönelik öğrencilerin inceleme yapmaları sağlanır. Öğrencilerin merak eğilimleri desteklenerek Salih Zeki’nin olasılık çalışmalarındaki emek, başarı ve fedakarlığına değer vermeleri ve saygı duymaları beklenir (D14.3, E1.1). Öğretmen çeşitli deneylerde (örneğin düzgün on iki yüzlü atma deneyi) ayrık olay ve ayrık olmayan olaylarla ilgili sınıflama gerektiren doğru-yanlış veya eşleştirme  soruları içeren çalışma kâğıdı uygulayabilir (SDB1.2). 

Öğrencilere ayrık olay, ayrık olmayan olay, eşit olasılıklı olan veya olmayan olaylar ve tümleyen olay ile ilgili resim, afiş gibi görseller hazırlamaları gereken bir performans görevi verilebilir

Öğrencilerin olayların eşit olasılıklı olma ve ayrık olma durumlarını inceleyecekleri oyunlar tasarlamaları istenebilir. Oyunların tasarımında oyuna yönelik farklı senaryolar için teorik olasılık hesaplamalarının dikkate alınması beklenebilir. Uygun teknolojik araçlarla oyun tasarlamaları ve tasarladıkları oyunlarda olasılıkla ilgili incelemelerini sunmaları istenebilir.

Öğrencilerin eşit olasılıklı olaylara yönelik örnek uzayı belirleme sürecinde grup çalışmaları yapılabilir. Böylece öğrencilerin akranlarından öğrenmeleri sağlanabilir. Örnek uzayda daha az çıktısı olan durumlardan başlanarak öğrencilerin liste ve ağaç şeması üzerinde çalışmalarına fırsat verilebilir. 
Öğrencilerin sınıf ortamında (örneğin kalem kutusundan belirli bir renkte kalemin seçilmesi) ya da günlük hayatta (örneğin açılacak spor kurslarından topla oynanan bir spor seçilmesi) karşılaşabilecekleri olayların örnek uzaylarının belirlenmesi, bir olayın tümleyeninin çıktılarının listelenmesi, olayların eşit olasılıklı olma veya ayrık olma durumlarının incelenmesi istenebilir.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.