2. TEMA: DEĞİŞİMİN MATEMATİĞİ (2)

MAB1. Matematiksel Muhakeme

KB2.10. Çıkarım Yapma

E3.6. Analitik Düşünme, E3.7. Sistematik Olma, E3.11. Özgün Düşünme

SDB1.2. Kendini Düzenleme (Öz Düzenleme), SDB2.1. İletişim

D3. Çalışkanlık, D5. Duyarlılık, D13. Sağlıklı Yaşam, D14. Saygı, D16. Sorumluluk, D17. Tasarruf

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

MAT.12.2.5. Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki değişim oranına ilişkin muhakeme yapabilme
a) Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki değişim oranı ile ilgili bileşenleri (fonksiyonun nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsili) belirler.
b) Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki değişim oranı ile ilgili bileşenleri arasındaki ilişkileri belirler.
c) Bir fonksiyonun belirli bir nokta civarındaki değişim oranını tablo, grafik ve limit gösteriminden yararlanarak fonksiyonun o noktadaki anlık değişimi olarak ifade eder.
ç) Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişimini fonksiyonun o noktadaki türevi olarak ifade eder.
d) Uygun koşullarda tanımlı fonksiyonların  belirli bir noktadaki anlık değişimlerini inceleyerek fonksiyonun o noktadaki türevine yönelik varsayımlarda bulunur.
e) Varsayımlarına dayalı örüntüleri geneller.
f) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
g) Genellemelerini önerme olarak ifade eder.
ğ) Önermelerini anlık değişim oranını yorumlamayı gerektiren problem durumlarında değerlendirir.
h) Fonksiyonun bir noktadaki türevini limit gösteriminden faydalanarak ispatlar.
ı) İspatını kullanışlılık açısından değerlendirir.

MAT.12.2.6. Fonksiyonların türevinin olmadığı noktalar hakkında çıkarım yapabilme
a) Fonksiyonlar ve türevin limit tanımı ile ilgili önceki bilgilerinden yararlanarak bir fonksiyonun herhangi bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığına ilişkin varsayımlarda bulunur.
b) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek bir fonksiyonun herhangi bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığı ile ilgili örüntüleri geneller.
c) Bir fonksiyonun herhangi bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığına ilişkin genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırır.
ç) Bir fonksiyonun herhangi bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığına ilişkin elde ettiği genellemelerden önermeler sunar.
d) Bir fonksiyonun herhangi bir noktasında hangi durumlarda türevinin olmadığına ilişkin önermeleri türev-süreklilik ilişkisi bağlamında değerlendirir.

MAT.12.2.7. Türevin limit gösteriminden faydalanarak iki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı, bölümü ve bileşkesinin türevine ilişkin muhakeme yapabilme
a) Fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı, bölümü ve bileşkesinin türevine ilişkin varsayımlar geliştirir.
b) Varsayımlarına dayalı örüntüleri geneller.
c) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
ç) Genellemelerini önerme olarak ifade eder.
d) Önermelerini farklı problem durumlarında değerlendirir.
e) İki fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünün bir noktadaki türevine dair kuralları limit gösteriminden faydalanarak ispatlar.
f) İspatını kullanışlılık açısından değerlendirir.     

Ortalama Değişim Oranı, Anlık Değişim Oranı, Fonksiyonların Türevi, İki Fonksiyonun Toplamının, Farkının, Çarpımının, Bölümünün ve Bileşkesinin Türevi

• Türev kavramı ve türevin özellikleri yardımıyla gerçek sayılarda tanımlı ve değerli fonksiyonların nitel özellikleri incelenebilir/yorumlanabilir.
• Türev, niceliklerdeki değişimleri modellemek için kullanılan matematiksel bir araçtır.
• Gerçek sayılarda tanımlı ve değerli fonksiyonlarda bağımlı ve bağımsız değişkenlerdeki değişim oranlarının yaklaştığı değerler diferansiyel kavramı yardımıyla açıklanabilir.

anlık değişim oranı, değişim oranı, diferansiyel, eğim, kesen doğrusu, limit, ortalama değişim oranı, sağdan/soldan türev, süreklilik, teğet doğrusu, türev, türev alma operatörü

Öğrenme çıktıları; çalışma kâğıdı, performans görevi ve araştırma ödevi ile değerlendirilebilir.

Türevin kullanıldığı farklı disiplinlerin incelenmesini içeren araştırma ödevi, analitik dereceli puanlama anahtarı kullanılarak değerlendirilebilir.

Gerçek yaşam problemlerini türevi kullanarak çözmeye ilişkin verilen çalışma kâğıdı, bütüncül dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir. Öğrencilerin kendilerini öz değerlendirme formuyla değerlendirmeleri sağlanabilir.

Türevin limit tanımı kullanılarak fonksiyonların türev alma kuralını belirlemeye yönelik verilen performans görevi, analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türev incelemeyi gerektiren sorulardan oluşan çalışma kâğıdı, bütüncül dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevini almayı gerektiren gerçek yaşam problemlerine ilişkin verilen çalışma kâğıdı, bütüncül dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir. Öğrencilerin kendilerini öz değerlendirme formuyla değerlendirmeleri sağlanabilir.

Öğrencilerin gerçek sayılarda tanımlı fonksiyon kavramını tanımlayabildikleri; fonksiyonların parçalı gösterimlerini bildikleri, fonksiyonlarda işlemler yapabildikleri; karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonlar ile polinom fonksiyonların matematiksel temsillerini kullanabildikleri; bu fonksiyonların cebirsel gösterimindeki katsayılar ile nitel özellikleri arasında ilişki kurabildikleri; doğrunun eğimini bildikleri; doğru denklemi oluşturabildikleri; bir açının tanjant değerini doğrunun eğimiyle ilişkilendirebildikleri; fonksiyon grafiklerinde kesen doğru ve teğet doğrusu kavramlarını yorumlayabildikleri; cebirsel özdeşlikleri ve tamkareye tamamlamayı kullanarak çarpanlara ayırma yapabildikleri; birinci ve ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri ve eşitsizlikleri çözebildikleri; limitte 0/0 belirsizliğini değerlendirebildikleri ve süreklilik kavramını yorumlayabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere 9, 10, 11 ve 12. sınıfta öğrendikleri referans fonksiyonlar, parçalı gösterimli fonksiyonlar ve polinom fonksiyonlar hakkındaki ilgi, ihtiyaç, beceri ve kavram yanılgılarını tespit etmek için hazır bulunuşluk testi yapılabilir. Fonksiyonların grafik temsili, fonksiyonların nitel özellikleri ve analitik geometri bilgilerini ölçmeye yönelik açık uçlu sorular sorulabilir. Birinci ve ikinci dereceden denklem ve eşitsizlikleri içeren problemlerde kullanılan farklı çözüm stratejilerinin bilgisini ölçebilmek için kısa cevaplı sorular sorulabilir. Fonksiyonlarda limit ve süreklilik konularına ilişkin ilgi, ihtiyaç, beceri ve kavram yanılgılarını tespit etmek için hazır bulunuşluk testi yapılabilir.

Doğrusal fonksiyonların eğimi, fonksiyonlarda değişim oranı kavramı ile ilişkilendirilir. Gerçek yaşamda bir hareketlinin ortalama hızının ne anlama geldiği sorularak değişim oranı kavramı somutlaştırılır.

Ayrıca bir hareketlinin t saniyede metre cinsinden aldığı yolu veren bir fonksiyonun grafik temsili çizilerek öğrencilerden bu fonksiyonda belirli saniyeler arasındaki ortalama hızın tespit edilmesi istenir. Bir kentin nüfusunun artış hızı, bir bankadaki mevduatın büyüme hızı, kimyada hacmi küçülen bir gazın basıncının artış hızı gibi ifadelerin ne anlama geldiği ile ilgili tartışmalar yapılır. Limitte öğrenilen ve türevde etkin bir şekilde kullanılacak olan 0/0 belirsizliği ve süreklilik ile ilgili soruların çözülebilmesine yönelik grup çalışması yapılabilir. Limit ve süreklilik konusunda öğrendikleriyle ilgili geri bildirimler verilerek öğrencilerin kendi seviyelerini, eksikliklerini ve ihtiyaçlarını belirlemesi sağlanır. Öğrencilerle bire bir görüşmeler yapılarak veya öğrencilerin yansıtıcı günlükler tutması istenerek limit konusu ile ilgili yaşadıkları duyguları fark etmeleri ve olumsuz duygularını gidermeleri desteklenebilir.

MAT.12.2.5
Gerçek yaşam durumu içeren problemler fonksiyonlarla temsil edilerek fonksiyonların nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri belirlenir. Ardından fonksiyonun nitel özelliklerinin problem verilerine uygun aralığındaki veya noktasındaki durumuna odaklanılarak ortalama değişim, anlık değişim, eğim, kesen doğrusu, teğet doğrusu gibi kavramlar belirlenir. Örneğin bir şirketin yıllık kazancı, önceki yıl ile içinde bulunulan yıl karşılaştırılarak elde edilebilir ve ardından bu şirketin aylık ortalama kazancının ne kadar olduğu sorgulanır (D17.3). Yıllık kazançtaki değişimin 12 aya bölünmesi ile aylık ortalama kazanç elde edilir (OB3). Bu tarz gerçek yaşam örnekleri üzerinden ortalama değişim oranı kavramı cebirsel olarak ifade edilir. Bir şirketin gelirinin zamana bağlı olarak verildiği bir grafik temsili üzerinden 12 ay önceki gelirini temsil eden nokta ve mevcut gelirini temsil eden nokta bir kesen doğrusu ile birleştirilir. Bu kesen doğrusunun eğimi aylık ortalama kazanç ile ilişkilendirilir. Benzer örnekler cebirsel ifadesi verilen fonksiyonlarda incelenir. Örneğin bir şehrin belirli bir gündeki sıcaklık değişimi, zamana bağlı bir fonksiyonla modellenerek verilebilir. Fonksiyon incelenerek belirli bir zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişimi, ortalama değişim oranının cebirsel ifadesi kullanılarak bulunur (MAB2).

Bir hareketlinin t zamanında aldığı yolu modelleyen fonksiyonlar öncelikle ortalama hızı bulmak için incelenir. Bu modellemelerin grafik temsillerinde herhangi iki zaman aralığındaki noktaları birbirine bağlayan kesen doğrusunun eğimi yorumlanır. Buradan bir hareketlinin belirli bir saniyedeki anlık hızının nasıl bulunabileceği tartışılır. Grafik temsiller incelenerek kesen doğrusuna benzer bir şekilde fonksiyonun sadece tek bir noktasından geçen teğet doğrusu çizilir. Grafik temsil üzerindeki iki noktayı birbirine bağlayan kesen doğruları teğet doğrusuna yaklaştırıldıkça bu doğruların eğim değerlerinin birbirine çok yaklaştığı tablo veya matematik yazılımları kullanılarak gösterilir (MAB3, MAB5). Böylelikle öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerinin geliştirilmesi desteklenir (OB2). Benzer şekilde öğrencilerden fonksiyonun sürekli olduğu bir noktadan çizilebilen ve eğimi gerçek sayı olan tek teğet doğrusu olması durumunda bu doğrunun eğiminin fonksiyonun o noktadaki anlık değişim oranını verdiğini grafik üzerinden limit kullanmadan keşfetmeleri beklenir. Bir hareketlinin t zamanındaki konumunu veren bir fonksiyon modellemesi üzerinden anlık değişim oranı ortalama değişim oranı kullanılarak “konumdaki çok küçük değişim/zamandaki çok küçük değişim” şeklinde sözel temsille ifade edilir. Bu konum fonksiyonunun t=a (a∈ℝ) noktasındaki anlık değişimi, bu nokta ve bu noktaya çok yakın bir nokta arasındaki zaman değişiminin limitinin sıfıra gitmesi durumunda şeklinde gösterilir. f(x) = y olmak üzere dy/dx = f'(x) eşitliği kullanılarak elde edilen dy = f'(x) dx diferansiyel olarak tanımlanır (MAB3). Grafik temsili üzerinden anlık değişim oranı kullanılarak diferansiyelin geometrik yorumu yapılır.

Öğrencilerin anlık ve ortalama değişimi anlamlandırmak için gerçek yaşam durumları üzerinde çalışmaları sağlanır. Örneğin bir öğrencinin düzenli spor yapmaya başladıktan t hafta sonra verdiği kiloyu modelleyen uygun koşullarda f(t) şeklinde tanımlı fonksiyon incelenebilir (D13.2). f ve f' fonksiyonlarının keyfî noktalardaki değerleri verilir. Öğrencilerin anlık ve ortalama değişimi işe koşarak bu verileri fonksiyonun grafik temsilinde yorumlaması istenir. Bir fonksiyonun grafiğine sürekli olduğu bir iç noktasının sağından ve solundan yaklaşıldığında eğimi bir gerçek sayı olan tek bir teğet doğrusu çizilmesi durumunda bu eğim değerinin fonksiyonun o noktadaki anlık değişimine eşit olduğunu göstermek için limit kavramı kullanılır. Fonksiyonun herhangi bir noktasındaki türevi, şeklinde ifade edilir (MAB3). Ayrıca elde edilen limitte h = x-a dönüşümü yapılarak x = a noktası için şeklinde türevin diğer bir limit tanımı elde edilir (E3.7). Bu limitlerin sağdan ve soldan yaklaşımları, sağdan türev ve soldan türev olarak ifade edilir. Özellikle cebirsel ifadesi verilen parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türevlenebilirlik incelenirken o noktadaki sağdan türev ile soldan türevin eşit olması gerektiği vurgulanır (E3.6). Öğrencilere parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türev incelemeyi gerektiren sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir. Fonksiyonun ikinci türevi ise veya f''(x) şeklinde gösterilir.

Uygun koşullarda f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ), ve f(x) = 1/x şeklinde tanımlı fonksiyonların herhangi bir noktasındaki anlık değişim oranı tablo, grafik ve cebirsel temsiller kullanılarak incelenir. Örneğin f(x) = x² fonksiyonunun tablo veya grafik temsilinde (1,1) noktasına çok yakın noktalar alınarak bu fonksiyonun x = 1 noktasındaki anlık değişim oranı tahmin edilir. Fonksiyonun cebirsel temsilinin işe koşulduğu türevin limit tanımı kullanılarak sonucu elde edilir ve yapılan tahminle bu sonuç karşılaştırılır. Bu şekilde polinom, köklü ve rasyonel fonksiyonların türev alma kurallarına yönelik varsayımlar geliştirilir. Bu varsayımlardan hareketle farklı fonksiyonların türev alma kurallarına ilişkin genellemeler elde edilir. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Elde edilen önermeler fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi bağlamlarında türevi kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerinde değerlendirilir. Örneğin biyolojide kandaki ilaç konsantrasyonu, bir canlı popülasyonunun artış veya azalış hızı; ekonomide bankada biriktirilen tasarruflar, bir şirketin kârı; coğrafyada bir ülke nüfusunun veya petrol miktarının artış veya azalış hızı; kimyada kimyasal reaksiyon, gaz basıncı ve fizikte anlık hız, anlık ivme gibi bağlamlarda önermeler etkin bir şekilde kullanılır (OB3, D5.2, D13.4). Yine fizikte, ısıtılarak genleşen küre şeklindeki bir maddenin yarıçapının, yüzey alanının veya hacminin zamana bağlı değişim oranı bu önermeler kullanılarak yorumlanır (MAB2). Bu şekilde türevin fen bilimleri ve sosyal bilimler için önemi uygulamalı bir şekilde gösterilir ve önemli bir ihtiyacı karşıladığından bahsedilir (SDB1.2). Öğrencilere türevin kullanıldığı farklı disiplinlerin incelenmesini içeren araştırma ödevi ve gerçek yaşam problemlerini türevi kullanarak çözmeye ilişkin çalışma kâğıdı verilebilir (D16.3). Ayrıca türev kavramının tarihî gelişimi incelenerek fizik ve matematik alanında çalışan Leibniz (Laybnıtz) ve Newton gibi bilim insanlarının türev ile ilgili çalışmalarından bahsedilir.

Fonksiyonların herhangi bir noktadaki türevini almaya ilişkin önermeler, türevin limit tanımı kullanılarak ispatlanır. Örneğin f karekök referans fonksiyonunun herhangi bir x = a ( a≠0) noktasındaki türevinin olduğu gösterilir. Buradan hareketle ise önermesi ispatlanır. Ayrıca her n∈ℚ için f(x)=xⁿ ise kuralı kullanılarak sıfırdan farklı gerçek sayılarda f(x) = 1/x şeklinde tanımlı fonksiyonun belirli bir noktadaki türev fonksiyonu elde edilir. Yapılan ispatlar, farklı önermelerin ispatı için kullanışlılığı açısından değerlendirilir.

MAT.12.2.6
Türevin limite dayalı cebirsel tanımı yorumlanarak fonksiyonların hangi durumlarda türevlenebilir olmayacağına yönelik sınıf içi tartışma yapılır. Bu tartışma yapılırken öğrencilerden birbirlerini etkin bir şekilde dinlemeleri, düşüncelerini temellendirerek ifade etmeleri ve etkileşim sağlamaları beklenir (SDB2.1, D14.1). Referans fonksiyonlar, polinom fonksiyonlar ve bu fonksiyonlardan elde edilen parçalı gösterimli fonksiyonların grafik temsilleri incelenir. Bu grafik temsillerden hareketle fonksiyonların hangi durumlarda türevlenebilir olamayacağına ilişkin varsayımlar geliştirilir. Türevin limit tanımından hareketle bu limitin var olabilmesi için fonksiyonun herhangi bir x = a noktasında soldan türev ile sağdan türevinin eşit olması gerektiği ifade edilir. Parçalı gösterimli fonksiyonların grafik temsilleri incelenerek süreksizlik noktalarında soldan ve sağdan türevin eşit olamayacağına ilişkin varsayım elde edilir. Ayrıca gerçek sayılarda ve şeklinde tanımlı fonksiyonların grafik temsilleri incelenerek bu fonksiyonların x = 0 noktasında sürekli olmasına rağmen bu noktada türevli olmayacağına ilişkin akıl yürütülür (OB4). Böylece parçalı gösterimli fonksiyon ve mutlak değerli fonksiyonların sürekli olduğu hâlde türevsiz olabileceği noktalara dair varsayımlar geliştirilir. Bu varsayımlardan hareketle farklı fonksiyonların türevlenemeyen noktalarına ilişkin genellemeler elde edilir. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Elde edilen önermelerden yararlanılarak fonksiyonlarda türev-süreklilik ilişkisi ortaya konur. Ayrıca cebirsel temsili verilen parçalı gösterimli fonksiyonlarda, kritik noktada türev incelenirken bu önermeler kullanılır. Öğrencilere parçalı gösterimli fonksiyonların kritik noktalarında türev incelemeyi gerektiren sorulardan oluşan çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT 12.2.7
f ve g polinom fonksiyonlarının toplam ve fark işlemlerinde türev almaya yönelik olarak cebirsel temsilleri incelenir. Örneğin gerçek sayılarda f(x)=x² ve g(x)=x şeklinde tanımlı fonksiyonlar kullanılarak elde edilen (f+g)(x)=x²+x ve (f−g)(x)=x²−x fonksiyonlarının türevi, türevin limit tanımıyla elde edilir. Buradan hareketle fonksiyonların toplam ve fark işlemlerinde türev alma kuralları ile ilgili varsayımlar geliştirilir. Çarpma, bölme ve bileşke işlemlerinde ise f ve g fonksiyonlarının yapısının bu işlemler sonucunda oluşan yeni fonksiyonda değiştiği matematik yazılımlarından yararlanılarak gözlemlenir (MAB5). Böylelikle öğrencilerin dijital araç ile iş görme becerilerinin geliştirilmesi desteklenir (OB2). Aynı zamanda gerçek sayılarda f(x) = x +1, g(x) = x şeklinde tanımlı fonksiyonlar ile elde edilen f/g fonksiyonunun türevine ilişkin olarak f ve g fonksiyonlarına bağlı yeni bir kural elde edilmesi gerekliliği ifade edilir. Bileşke fonksiyonların referans fonksiyonlardan türetilebileceği fikri ile bu fonksiyonların türev alma kuralı örnekler üzerinden incelenir. Örneğin gerçek sayılarda f(x)=(3x+1)² şeklinde tanımlı fonksiyon; h(x) = 3x+1 ve g(x) = x² fonksiyonlarının bileşkesi şeklinde yazılır. Türevin limit tanımı kullanılarak bu fonksiyonun türev alma kuralı belirlenir ve bileşke fonksiyonların türevine ilişkin varsayımlar elde edilir. Bu varsayımlardan hareketle fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevine ilişkin genellemeler elde edilir. Bileşke fonksiyonun türevinde iki fonksiyonun bileşkesi ile sınırlı kalınır. Genellemelerle varsayımlar karşılaştırılarak önermeler matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunulur. Elde edilen önermeler fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi bağlamlarında türevi kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerinde değerlendirilir. Örneğin t saatte bir evin içerisinde iki ayrı musluktan akan su miktarları f ve g fonksiyonları ile modellenebilir. Belirli bir saatte bu musluklardan akan toplam su miktarındaki değişim, toplam fonksiyonunun türevi yardımıyla bulunur. Buna göre hangi saatlerde en çok su tüketimi olduğu belirlenir (D17.2). Ayrıca bileşke fonksiyonun türev alma kuralı kullanılarak uygun koşullarda g(x) = [f(x)]ⁿ şeklinde tanımlı fonksiyonların türevi ile ilgili önermelere ulaşılır. Bu şekilde farklı görünen durumlara ilişkin bileşke fonksiyonun türev alma kuralı kullanılarak farklı çözümler üretilir. Öğrencilere fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevini kullanmayı gerektiren gerçek yaşam problemlerine ilişkin çalışma kâğıdı verilebilir.

Türevin limit tanımı kullanılarak fonksiyonların toplam, fark, çarpım, bölüm ve bileşkesinin türevi cebirsel olarak farklı yöntemlerle ispatlanır. Bu ispatlar yapılırken öğrencilerin ispatlara ilişkin bilimsel ve özgün yaklaşımlar sunmaları beklenir (E3.11, D3.3). Yapılan ispatların kullanışlılığı değerlendirilir. Öğrencilere bu çıktıya yönelik performans görevi verilebilir.

(*) Trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların türevi, limit tanımından yararlanılarak bulunur. Yüksek mertebeden türev alma yaklaşımları incelenir ve bunlara ilişkin n. dereceden türevi veren matematiksel modellemeler yapılır. Trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksiyonlar kullanılarak yüksek mertebeden türeve ilişkin örüntüler ve genellemeler elde edilir. Bir fonksiyonun kendisiyle ters fonksiyonu arasında türeve dayalı ilişkiler kurulur. Kapalı fonksiyonların türev alma kuralı, ispatı yapılarak incelenir. Ters trigonometrik fonksiyonların türev alma kuralını bulmaya yönelik cebirsel ispatlar yapılır. Fonksiyonların çarpım ve bölümünün türevine yönelik ispatlar e tabanındaki logaritmik fonksiyon kullanılarak elde edilir. Diferansiyel kavramı kullanılarak ters türeve yönelik incelemeler yapılır. Basit düzeydeki türevli denklemler ters türev fikri kullanılarak çözülür.

(*) Türev kullanılarak yapılabilecek STEM uygulamalarına daha fazla yer verilir. Örneğin bir bakteri popülasyonu fonksiyonlar ile modellenerek bu popülasyonun belirli bir t anındaki büyüme hızı belirlenebilir.

Anlık değişim oranı kavramının doğru bir şekilde anlaşılabilmesi için ortalama değişim ile ilgili gerektiği kadar gerçek yaşam durumu örneği matematiksel yazılımlar kullanılarak incelenir.

Türevin kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri (traktörün anlık hızı, kasabadaki nüfusun büyüme hızı gibi) öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya ilgi ve motivasyonları artırılır.

Anlık değişim oranı ve türev kavramının temsil edilebileceği somut materyaller (animasyonlar) kullanılır.

Öğrencilere bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini cebirsel olarak ifade edebilmeye, grafik temsilde yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır.

Türev kavramı ve türev alma kuralları ile ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

Öğrenciler için bireyselleştirilmiş öğrenme planları oluşturulur. Türev kavramı ve türev alma kuralları konusunda öğrencilerin bireysel ihtiyaçlarına uygun hedefler belirlenir.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.