4. TEMA: GEOMETRİK ŞEKİLLER

MAB1. Matematiksel Muhakeme (MAB1.1. Matematiksel Doğrulama veya İspat Yapma)

KB2.10. Çıkarım Yapma

E3.6. Analitik Düşünme, E3.7. Sistematik Olma

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği, SDB2.3. Sosyal Farkındalık

D3. Çalışkanlık

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık

MAT.10.4.1. Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme
a) Dik üçgende trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili varsayımlarda bulunur.
b) Trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili örüntüleri geneller.
c) Trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili elde ettiği genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
ç) Yaptığı karşılaştırmalardan dik üçgende trigonometrik oranlara ilişkin önermeler sunar.
d) Ulaştığı trigonometrik oranları ve trigonometrik özdeşlikleri problemler bağlamında değerlendirir.

MAT.10.4.2. Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme
a) Üçgende iç ve dış açıortayların, kenarortayların, kenar orta dikmelerin ve yüksekliklerin özelliklerine ilişkin varsayımda bulunur.
b) Farklı üçgen örneklerini inceleyerek varsayımlarına ilişkin örüntüleri geneller.
c) Üçgenin yardımcı elemanlarıyla ilgili genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
ç) Elde ettiği genellemelerden hareketle yardımcı elemanların özelliklerine ilişkin önermeler sunar.
d) Üçgenin yardımcı elemanlarıyla ilgili önermeleri problemler bağlamında değerlendirir.

MAT.10.4.3. Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının değişimine ilişkin çıkarım yapabilme
a) Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğindeki değişimin üçgenin alanındaki değişime etkisine dair varsayımlarda bulunur.
b) Farklı üçgenlerdeki gözlemlerinden yararlanarak varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
c) Genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
ç) Elde ettiği genellemelerden üçgenin alanının hangi elemanlara göre değiştiğine ilişkin önermeler sunar.
d) Önermeleri gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.

MAT.10.4.4. Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme
a) Üçgende sinüs ve kosinüs teoremlerine ilişkin farklı doğrulama veya ispatları kullanır.
b) Yapılan doğrulama veya ispatları yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.     

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler, Üçgende Yardımcı Elemanlar ve Bunlar Arasındaki İlişkiler, Üçgende Alan, Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

• Trigonometrik oranlar, bir açıya ilişkin sabitlerdir.
• Benzer üçgenlerin alanları da orantılıdır.

ağırlık merkezi, alan, birim çember, çevrel çember, iç açıortay, iç teğet çember, dış açıortay, dış teğet çember, kenar orta dikme, kosinüs teoremi, sinüs teoremi, trigonometrik oranlar, yönlü açı, yükseklik

Öğrenme çıktıları, çalışma kâğıdı ve performans görevi ile değerlendirilebilir.

Öğrencilere trigonometrik oranlar, trigonometrik özdeşlikler, sinüs ve kosinüs teoremleri kullanılarak yapılan hesaplamalar içeren gerçek yaşam problemlerine yönelik performans görevi verilir. Verilen bu performans görevi, analitik veya bütüncül dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Üçgenin yardımcı elemanları ve özellikleri ile ilgili verilen performans görevleri akran ve grup değerlendirme formlarıyla, analitik veya bütüncül dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Öğrencilere gerçek yaşam problemleri üzerinden üçgenin alanının herhangi bir taban ve o tabana ait yüksekliğine göre nasıl değiştiğine ilişkin önermeleri ve buna yönelik hesaplamaları içeren çalışma kâğıdı verilebilir. Çalışma kâğıdı, analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Öğrencilerin üçgenlerde temel elemanlar ve özellikleri hakkında çıkarım yapabildikleri, daha sonraki geometri konularına temel teşkil edecek üçgenlerde eşlik ve benzerlik kavramını bildikleri, bunların uygulamalarını yapabildikleri, Pisagor teoremini uygulayabildikleri, üçgenin yardımcı elemanlarını ve bir üçgenin ağırlık merkezini bildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere üçgenin temel elemanları ve bunlar arasındaki ilişkiler hakkında sorular sorularak öğrencilerin bu kavramlarla ilgili bilgileri değerlendirilir. Üçgenlerde eşlik, üçgenlerde benzerlik, üçgenlerin yardımcı elemanları ve Pisagor teoremi ile ilgili soru cevap, tartışma gibi teknikler kullanılarak hatırlatmalar yapılır. Yapılacak etkinlikler, öğrencilerin iletişim becerilerini geliştirmelerine de olanak sağlar (SDB2.1).

Öğrencilerin bu süreçte paylaştıkları bilgiler ve öğretmenin sorduğu sorulara verdikleri cevaplar üzerinden öğrencilerde görülen yanlış öğrenmeler fark edilir. Bunların giderilmesini destekleyici açıklamalar yapılır.

Dik üçgende trigonometrik oranların incelenebilmesi için öğrencilerin 9. sınıfta öğrendikleri üçgenlerde benzerliğe ilişkin ön bilgileri soru cevap tekniği ile işe koşulur. Öğrenciler, benzerliğe ilişkin bilgilerinin yanı sıra eşlikle ilgili bilgilerini de kullanarak üçgenin yardımcı elemanları ve özelliklerine ilişkin çıkarımlar yapabilecek; bu elemanlar arasındaki ilişkilere ulaşabilecektir. Bunun yanı sıra öğrenciler; önceden öğrendikleri alan, oran-orantı bilgilerini kullanarak üçgenlerin alanlarına ve farklı üçgenlerde alanların oranlarına dair çıkarımlar yapabilecektir. Öğrencilere sinüs teoremini doğrulamaları için hangi bilgilerini işe koşabilecekleri sorulur. Bu doğrulamanın hangi bilgilere dayandırılabileceği hakkında öğrencilerin görüşleri alınır. Kosinüs teoremini ispatlamada hangi bilgilerinden yararlanılabileceği tartışılır. Bu doğrulama ve ispatlama için doğruluğundan emin olunan ön bilgilerin önemine vurgu
yapılır.

MAT.10.4.1
Öğrencilerden kenar uzunlukları rasyonel sayı olan (örneğin 3-4-5 üçgeni) benzer dik üçgenleri çalışma kâğıdına çizmesi istenir. Çalışma kâğıdında bir dar açıya göre kenar uzunluklarının oranlarının (karşı dik kenar uzunluğu/hipotenüs uzunluğu, komşu dik kenar uzunluğu/hipotenüs uzunluğu, karşı dik kenar uzunluğu/komşu dik kenar uzunluğu, komşu dik kenar uzunluğu/karşı dik kenar uzunluğu) düzenlendiği bir tabloya yer verilir. Öğrencilerden tabloyla ilgili düşüncelerini ifade ederek ve birbirlerinin düşüncelerini dinleyerek tabloyu doldurmaları beklenir (SDB2.1, SDB2.2). Öğrenciler, elde ettikleri bu oranları varsayımlar şeklinde sınıf içinde sunar. Öğrencilerden tabloda yer alan oranları inceleyerek yorumlamaları ve oranların hep eşit çıktığı hakkında genellemelerde bulunmaları beklenir (OB1). Öğrencilerin genellemeleri ile varsayımları karşılaştırılarak bu oranlar trigonometrik oranlar olarak isimlendirilir. Öğrencilerin sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant kavramlarına ilişkin önermeler sunmaları sağlanır. Öğrencilerden trigonometrik oranlar kullanılarak oluşturulabilecek özdeşliklerle ilgili varsayımlarda bulunmaları istenir. Pisagor teoremi kullanılarak ve cebirsel işlemler yapılarak trigonometrik oranlarla ilgili özdeşliklere yönelik genellemelerde bulunulur. Genellemeleri ile varsayımlarını karşılaştırarak öğrencilerin “sin²x + cos²x = 1, tanx∙cotx = 1” gibi temel trigonometrik özdeşliklere ulaşmaları beklenir. Farklı benzer dik üçgenlerde de bu oranların aynı çıktığı konusunda öğrencilerin önermeler sunmaları ve bu önermeleri değerlendirmeleri sağlanır. Öğrenciler iki gruba ayrılır. Bir grubun eşkenar üçgenlerden, diğer grubun ise ikizkenar dik üçgenlerden yararlanarak ölçüleri 30°, 45° ve 60° olan açıların trigonometrik oranlarını incelemeleri; elde ettikleri değerleri birbirlerine sunmaları sağlanır. Ulaştıkları trigonometrik oranları ve trigonometrik özdeşlikleri gerçek yaşam problemlerinde kullanmaları beklenir. Hipotenüs uzunluğunun 1 birim olduğu bir dik üçgende dik kenar uzunluklarının trigonometrik oranlarla ilişkisinin öğrenciler tarafından keşfedilmesi sağlanır. Geniş açıların trigonometrik oranlarının nasıl bulunabileceği sorusundan hareketle birim çember modeli tanıtılır. Dik üçgende belirlenebilen trigonometrik oranların birim çember yardımıyla gösterilebileceğini öğrencilerin keşfetmeleri sağlanır. Yönlü açı kavramı, birim çember üzerindeki noktalarla ilişkilendirilerek açıklanır. Öğrencilere trigonometrik oranlar kullanmayı gerektiren problemlere yönelik performans görevi verilebilir. Ayrıca öğrencilerden Uluğ Bey gibi trigonometriye katkı sağlayan Türk-İslam bilim insanlarının çalışmalarını içeren bir araştırma ödevi yapmaları istenebilir.

MAT.10.4.2
Bir üçgenin bir iç açısına ait açıortayı belirlemek için farklı matematiksel araç ve teknolojilerle (pergel, ölçüsüz cetvel, matematik yazılımları gibi) ve farklı yöntemlerle (kâğıt katlama yöntemi gibi) açıortayla ilgili hatırlatmalar yapılır (MAB5, OB2). Daha sonra bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları oranı ile açıortayın kestiği kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı arasında nasıl bir ilişki olduğu sınıf ortamında tartışılarak öğrencilerin varsayımlarda bulunmaları beklenir. Öğrencilerin açıortayın özellikleri ile ilgili varsayımlarını arkadaşlarıyla tartışarak genellemelere ulaşması beklenir (SDB2.2). Bu süreç öğrencilerin başkalarının düşüncelerini ve bakış açılarını anlama, grup iletişimine katılma ve başka düşüncelerde uzlaşma becerilerine katkı sağlar (SDB2.1, SDB2.2, SDB2.3). Öğrencilerin çizilen farklı üçgenler üzerinden oluşturdukları örüntüler aracılığıyla ulaştıkları genellemeler ile varsayımları karşılaştırmaları sağlanır. Genellemeleri üzerinden benzerlik yardımıyla bir üçgenin bir iç açısına ait açıortayın kestiği kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının oranı ile açıyı oluşturan kenarların uzunluklarının oranı arasındaki ilişkiyi ifade etmeleri beklenir. Öğrencilerin ulaştıkları önermeleri farklı problem durumlarında kullanmaları sağlanır (MAB2). Öğrencilerin benzer varsayım, genelleme ve önerme sunma süreçlerinden geçerek konuyla ilgili başka çıkarım ve sonuçlara varmaları beklenir. Örneğin öğrenciler, eş üçgenler yardımıyla bir açının açıortay doğrusu üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerinuzunluklarının eşit olduğu hakkında çıkarımda bulunur. Bu çıkarımdan hareketle iç açıortayların tek noktada kesiştiği ve bu noktanın üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olduğu sonucuna ulaşılır. Matematik yazılımları aracılığıyla farklı açılar sunularak öğrencilerden bu çıkarımlarının her durumda sağlandığını görmeleri beklenir (MAB5). Benzer bir süreç işletilerek dış açıortay teoremine ilişkin çıkarım yapmaları sağlanır. Ayrıca iki dış açıortay ve diğer açıya ait iç açıortayın aynı noktada kesiştiği bilgisine ve bu noktanın dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğu fikrine ulaşmaları beklenir.

Üçgenin iki kenarortayını inşa ederek kenarortayların kesim noktasının kenarortayları belli oranda böldüğüne dair varsayımlarda bulunmaları, öğrencilerin farklı matematiksel araç ve teknolojiler (pergel, ölçüsüz cetvel, matematik yazılımları gibi) ile farklı yöntemler (kâğıt katlama yöntemi gibi) kullanmaları sağlanarak hatırlatmalar yapılır (MAB5, D3.4). Benzer süreçler işletilerek öğrencilerin elde ettiği önermelerden üçüncü kenarortayın da aynı noktadan geçtiği bilgisine ulaşmaları beklenir. Üçgende kenarortayların kesim noktasının ağırlık merkezi olduğu, ağırlık merkezinin kenarortay uzunluğunu ikiye bir oranında böldüğü gibi sonuçlara dikkat çekilir. Öğrencilere dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğunun ayırdığı parçaların uzunluğuna eşit olduğuna dair çıkarımlar yapmaları için fırsat verilir.

Öğrencilerin matematik yazılımları, pergel, ölçüsüz cetvel ya da kâğıt katlama yöntemini kullanarak farklı üçgenlerin herhangi iki kenar orta dikmesini inşa etmesi sağlanarak hatırlatmalar yapılır. Öğrencilerin üçüncü kenar orta dikmenin bu kesim noktasından geçip geçmediğine dair arkadaşlarıyla tartışarak (SDB2.2) varsayımlarda bulunmaları sağlanır. Diğer kenar orta dikmenin de aynı kesim noktasından geçtiği şeklindeki sonuçlara dikkat çekilir. Öğrencilere kenar orta dikmelerin kesim noktasının çevrel çemberin merkezi olduğuna dair çıkarımlar yapmaları için fırsat verilir.

Üçgenin yükseklikleri ile ilgili inceleme yapmak üzere öğrencilerin farklı matematiksel araç ve teknolojiler (pergel, ölçüsüz cetvel, matematik yazılımları gibi) ile farklı yöntemler (kâğıt katlama yöntemi gibi) kullanarak bir üçgenin herhangi iki kenarına ait yüksekliklerini inşa etmeleri sağlanır (OB2). Öğrencilerin “Diğer kenara ait yükseklik, önceden çizilen iki yüksekliğin kesim noktasından geçer.”, “Dar ve dik açılı üçgenlerde yükseklikler, üçgenin içinde bir noktada; geniş açılı üçgenlerde yükseklikler, üçgenin dışında bir noktada kesişir.” gibi sonuçlara ulaşmaları beklenir. Elde edilen bu önermeler, farklı problem durumlarında kullanılarak değerlendirilir. Sınıf içerisinde gruplar oluşturularak her bir gruptan farklı bir yardımcı eleman ve bunların özellikleri ile ilgili performans görevi hazırlamaları ve bunu arkadaşlarına sunmaları istenebilir. Gruplardan ele aldıkları üçgenin yardımcı elemanları doğrultusunda edindikleri bilgilerden hikâye, sunum ya da afiş gibi dijital bir ürün oluşturmaları istenebilir. Sonrasında bu dijital ürünler, belirlenen dijital platform aracılığı ile sınıfta paylaşılabilir.

MAT.10.4.3
Matematik yazılımları yardımıyla öğrencilerin herhangi bir üçgenin bir kenarı değiştirilip o kenara ait yüksekliği sabit tutularak ya da yüksekliği değiştirilip o yüksekliğin bağlı olduğu kenar sabit tutularak oluşturulacak üçgenlerin alanlarındaki değişime ilişkin varsayımda bulunmaları sağlanır (MAB5). Farklı üçgenler üzerinden üçgende alanın hangi elemanlara göre değiştiğine dair genellemeler elde edilir. Sonrasında bu genellemeler ile varsayımlarını bilimsel bir bakış açısıyla karşılaştırmaları beklenir. Karşılaştırma sonucunda elde edilen genellemeler, önerme olarak ifade edilir. Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanlarının bu yüksekliklere ait taban uzunlukları ile orantılı olduğuna, taban uzunlukları eşit olan üçgenlerin alanlarının o tabana ait yükseklikleri ile orantılı olduğuna, paralel doğrular arasında ortak tabana sahip olan iki farklı üçgenin alanlarının ve bu iki üçgenin ortak olmayan bölgelerinin alanlarının eşit olduğuna, benzer üçgenlerin alanları oranının benzerlik oranının karesine eşit olduğuna ve üçgenin herhangi bir yüksekliğinin sinüs yardımıyla ifade edildiğinde farklı bir alan bağıntısı oluştuğuna ulaşmaları beklenir. Elde edilen bu önermeler farklı problem durumlarında kullanılarak değerlendirilir. Öğrencilere gerçek yaşam problemleri üzerinden üçgenin alanının taban ve o tabana ait yüksekliğine göre nasıl değiştiğine ilişkin önermeleri ve buna yönelik hesaplamaları içeren çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.10.4.4
Verilen sinüs teoreminin her üçgen için geçerli olup olmadığı sorgulanır ve teoremin doğruluğunu göstermeye dair neler yapılabileceği hakkında öğrencilerin fikirleri alınır. Öğrencilerden sinüs trigonometrik oranını içeren üçgende alan formülünü kullanarak yapılan doğrulamaları değerlendirmeleri beklenir. Doğrulanan bu teoremin problem durumlarında kullanımı sağlanır (MAB2).

Kosinüs teoreminin nasıl ispatlanacağına dair öğrenci fikirleri alınır. Bu ispatlama sürecinde öğrencilerin bu teoremin üçgenlerde geçerli olduğunu ve üçgenler üzerinde Pisagor teoremini kullanmaları gerektiğini fark etmeleri beklenir. Bunu sağlamak için üçgen üzerinde ne tür ek çizimler yapılması gerektiğine dair tartışmalar yapılır. İspat adım adım ilerletilerek teoremlerin ispatları üzerindeki çalışmalar yoluyla öğrencilerin analitik düşünme ve sistematik olma
eğilimleri desteklenir (E3.6, E3.7). Ek çizimler yardımıyla Pisagor teoreminden yararlanılarak teoremin ispatı yapılır. Bu teorem, gerçek yaşam problemlerinin çözümünde kullanılır (MAB2). Problemlerin çözümünde teoreme ilişkin ispat adımları kullanılır.

(*) Öğrencilerin üçgende yardımcı elemanların uzunluklarının nasıl hesaplanabileceğine dair çıkarım yapmaları istenir. (*) Bir üçgende çevrel çemberin merkezi ile diklik ve ağırlık merkezlerinin doğrusal olup olmadığı ile ilgili araştırma yapıp bu araştırmalarını planlı bir şekilde sunmaları sağlanır. 

(*) Üçgende öğrendikleri alan bağıntılarından daha farklı alan bağıntılarının olup olmadığı hakkında araştırma yapmaları ve varsa bu bağıntıların üçgenin hangi özelliklerinden yararlanılarak elde edilebileceğini ifade etmeleri istenir.

Sinüs ve kosinüs teoremlerinin farklı ispatlarını araştırmaları istenerek öğrencilerin bu araştırmalarını sunmaları sağlanır. Ayrıca kosinüs teoremi ile Pisagor teoremi arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmaları istenir.

(*) 15° ve 75°lik açıların trigonometrik oranlarının bulunması ile ilgili araştırmalar yapılır. (*) Morley (Morliy) üçgeni hakkında araştırma yapmaları istenir. Herhangi bir açının pergel ve ölçüsüz cetvel kullanılarak iki eş parçaya bölünebileceği ancak üç eş parçaya bölmenin çözülememiş problemlerden birisi olduğu araştırma ödevi olarak verilir.

Ders içeriği; matematik yazılımlarıyla, pergel ve ölçüsüz cetvel gibi araç gereçle sunulur. Öğrencilerin kendi hızlarında ilerlemelerine olanak tanıyan etkileşimli çevrim içi uygulamalar kullanılır. Bu sayede genelleme, doğrulama ve ispatlama sürecindeki içeriğin daha kolay anlamlandırılması ve dijital okuryazarlık becerilerinin geliştirilmesi sağlanır. Öğrencilerin kendi aralarında çalışmalar yapmaları sağlanarak iş birlikli öğrenme ortamları oluşturulur ve akran geri bildirimi sayesinde öğrencilerin birbirlerinden öğrenmelerine yönelik çalışmalar yaptırılır.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.