4. TEMA: GEOMETRİK ŞEKİLLER

MAB1. Matematiksel Muhakeme (MAB1.1. Matematiksel Doğrulama veya İspat Yapma)

-

E1.1. Merak, E1.2. Bağımsızlık, E3.4. Gerçeği Arama

SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D11. Özgürlük, D14. Saygı, D19. Vatanseverlik

OB1. Bilgi Okuryazarlığı, OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık, OB5. Kültür Okuryazarlığı

MAT.9.4.1. Üçgende açı ve kenarla ilgili özellikleri, üçgenin açı ve kenarları arasındaki ilişkileri doğrulayabilme veya ispatlayabilme
a) Üçgende iç ve dış açı ölçülerinin toplamına, açılara karşılık gelen kenarlarla ilgili özelliklere ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkilere dair farklı doğrulama veya ispatları kullanır.
b) Yapılan doğrulama veya ispatları yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.     

Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler, Üçgende Açı Özellikleri Arasındaki İlişkiler, Üçgende Kenar Özellikleri Arasındaki İlişkiler

• Üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının ölçüsü en büyüktür.
• Öklid geometrisinin aksiyomatik yapısı, geometrideki bağıntıların ve ilişkilerin ispatlanmasının temelini oluşturur.
• Üçgenin temel özellikleri ve geometrik yapısının anlaşılması sayesinde üçgen oluşturabilme koşulları belirlenir.

açı, dış açı, iç açı, kenar, üçgen, üçgen eşitsizliği

Öğrenme çıktıları; açık uçlu sorular, çalışma kâğıtları ve performans görevleri ile değerlendirilebilir.
Öğrencilere üçgende açı ve kenar özellikleri hakkında yaptıkları doğrulama veya ispatlamaları kullanabilecekleri problem durumları bulmalarını ve bunları çözmelerini gerektirecek bir performans görevi verilebilir. Performans görevinin ürünü olarak her bir gruptan çalışmasını çevrim içi uygulamaları kullanarak sunmaları istenebilir. Öğrencilerin ürünleri, analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Öğrencilerin nokta, doğru, doğru parçası, ışın ve açıyı gerekli araçlarla oluşturabildikleri; açı çeşitlerine, iki doğrunun kesişimi ile oluşan açılara ve paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılara yönelik çıkarımlar yapabildikleri; üçgen ve temel elemanları ile ilgili muhakeme becerisi bağlamında çözümleme, yorumlama ve çıkarım yapabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere geometrinin temel kavramları, tanımları ve gösterimleri hakkında sorular sorularak öğrencilerin bu kavramlarla ilgili ön bilgileri değerlendirilir. Açı çeşitlerine, iki doğrunun kesişimi ile oluşan açılara ve paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılara yönelik ön bilgileri de değerlendirilir. Öğrencilerin sorulara verdiği cevaplar üzerinden varsa kavram yanılgıları ve yanlış anlamlandırmaları, kullandıkları matematiksel semboller üzerinde durularak tutarlı bilgi, uygun ifade ve gösterimlere sahip olmaları sağlanır. Bu noktada öğrencilerin merakını ve ilgisini çekecek bir yaklaşımla geometrik kavramların önemi bağlamında bir tartışma ortamı oluşturulabilir.

Öğrencilerin üçgenin elemanları ve konuya ilişkin genellemeler ile ilgili bilgilerini açıklarken prototip bir üçgen çizimi yerine farklı türde üçgenlerden de yararlanıp yararlanmadıkları değerlendirilir. Bu süreçte farklı türden üçgenlerden yararlanmanın sağlayacağı farklı bakış açıları ve bunun ulaşılacak çıkarım ve genellemelere etkisi fark ettirilerek öğrencilerin alternatif çözümler üretme ve yeni durumlara uyum sağlama süreçleri aracılığıyla esneklik becerilerinin gelişimi değerlendirilir.

Öğrencilerden bu sınıf seviyesine kadar geometrik nesnelerin özelliklerine yönelik muhakeme becerisi bağlamında işe koştukları çözümleme, yorumlama, çıkarım yapma ve doğrulama becerilerini bu sınıfta ispat yapabilme becerisine dönüştürebilmeleri beklenmektedir. Genelleme yaparak ortaya koydukları önermelerin tüm durumlarda geçerli olduğunu gösterebilmek için öğrencilerin ispata ihtiyaç duyulduğunun farkında olmaları sağlanır.

Ortaokulda düzlemde üçgenin iç açı ölçüleri toplamının 180° olduğunu öğrendikleri için öğrencilere bu özelliğin ispatının nasıl yapılabileceği sorulur. Bu ispatın hangi bilgilere dayandırılabileceği hakkında öğrencilerin görüşleri alınır, ispat için doğruluğundan emin olunan ön bilgilerin önemine vurgu yapılır.

MAT.9.4.1
Öğrencilerden ortaokulda öğrendikleri düzlemde verilen bir üçgende iç açıların ölçüleri toplamının 180° olduğuna dair bilgilerinin düzlemde verilen bütün üçgenler için doğru olup olmadığını düşünmeleri beklenir. Düzlemde verilen bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğuna dair genellemenin ispata muhtaç olduğunun anlaşılması gerekmektedir. Öğrencilerin bu genellemenin nasıl ispatlanabileceği ile ilgili fikir yürütmesi ve fikirlerini paylaşması sağlanarak gerçeği arama ve bağımsızlık eğilimleri desteklenir (E3.4, E1.2, D11.2). Sonrasında öğrencilerin düzlemde kesişen doğrular ve oluşturdukları açılarla ilgili bilgilerini kullanarak ispat yapmayı denemeleri sağlanır. Öğrencilerden bu ispat için düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir paralel doğru çizilebileceğini düşünmeleri beklenir. Öğrencilerden düzlemde verilen bir üçgenin dış açı ölçülerinin toplamının ne olabileceği ile ilgili çıkarımda bulunmaları da istenir. Bu toplamın 360° olduğuna dair önermenin ispatına yönelik farklı doğrulama ve ispatlar üzerine sınıf içi tartışma yapılır. Yapılacak tartışma etkinlikleri; öğrencilerin etkin dinleme, düşüncelerini saygı çerçevesinde ifade etme, farklı yollarla etkileşim sağlama ve grup iletişimine katılma becerilerinin geliştirilmesine katkı sağlayacaktır (SDB2.1, D14.1). Bu tartışmalar sonrasında öğrencilerin fikirlerine ilişkin değerlendirme yapılarak uygun ispatın kullanılması sağlanır. Öğrencilere önermenin farklı ispatlarının ispat adımları ve gerekçelerinin yer aldığı çalışma kâğıtları verilerek öğrencilerden bırakılan boşlukları doldurmaları istenebilir. Öğrencilerin verilen önermeye ilişkin yaptıkları farklı ispatları karşılaştırmaları sağlanır. Bu ispatlardan yararlanılarak öğrencilerden düzlemde verilen bir üçgende bir dış açının ölçüsünün kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğuna dair önermeyi de ispatlamaları istenir. Bu çalışmalar sırasında öğrencilerden gruplar hâlinde fikir alışverişi yapmaları ve etkileşim içinde olmaları beklenir (SDB2.1, SDB2.2).

Öğrencilerden bu sınıf düzeyinde üçgende açı ve kenar ilişkilerini ifade eden önermeler (“Üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının ölçüsü en büyüktür.” gibi) ile üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eden üçgen eşitsizliğini doğrulamaları beklenmektedir. 

Bu genellemelerin doğrulanması hakkında öğrencilerin kendi fikirlerini dile getirmeleri istenir. Öğrencilere yöneltilecek açık uçlu sorular ve öğrenci cevaplarına verilen dönütlerle öğrencilerin fikirlerini geliştirmeleri sağlanır. Farklı doğrulamalar arasından uygun olanı işe koşulur. Öğrenciler, doğrulama yaparken matematiksel araç gereç ya da teknoloji kullanmaları hususunda teşvik edilir (MAB5). Bu çalışmalarla öğrencilerin dijital ortamlar için içerik tasarlama, geliştirme, düzenleme ve paylaşma becerilerinin gelişimi de desteklenecektir (OB2).

Öğrencilerin önermeleri, işe koştukları ispat veya doğrulamaları değerlendirmeleri sağlanır. Bu değerlendirmede öğrencilerden ulaşılan önermeleri, önermelerin ispat ve doğrulamasını geometrik problemler ile gerçek yaşam problemleri (görsel sanatlarda üçgen kullanımı, mimari ve mühendislikte yapıların üçgen formları gibi) bağlamında kullanmaları beklenir (MAB2). Buna yönelik çalışmalarda öğrencilerin farklı problem durumlarında üçgen görsellerini değerlendirirken görselleri anlama, görselleri yorumlama, görseller hakkında eleştirel düşünme, görselleri kullanarak yeni görseller oluşturma becerilerinin gelişimi desteklenir (OB4). Ayrıca öğrencilerin problem durumlarına çözüm bulurken yürütecekleri çalışmalar; probleme ilişkin bilgilerin çözümlenmesini, yorumlanmasını ve sorgulanarak eleştirel bir bakış açısıyla kullanılmasını gerektirir (OB1). Öğrencilere üçgende açı ve kenar özellikleri hakkında yaptıkları doğrulama veya ispatlamaları kullanabilecekleri problem durumları bulmalarını ve bunları çözmelerini gerektirecek bir performans görevi verilebilir.

Geometrinin tarihî süreçte ortaya çıkışı, zamanla kuramsal ve aksiyomatik bir yapı kazanması; öğrencilerin seviyelerine uygun soru, kavram ve açıklamalarla tartışılır. Türk kültür ve medeniyetinde geometrinin tarihî gelişim sürecine katkı sağlamış bilim insanlarından (Ebülvefa Buzcani, Kuşyar bin Lebban, Kadızade-i Rumi, Nasirüddin Tusi) ve yaptıkları çalışmalardan bu çıktıya yönelik olanlar tanıtılır ya da öğrencilerden araştırma yapmaları istenir (OB5, E1.1). Mustafa Kemal Atatürk tarafından 1936-1937 yılları arasında hazırlanmış, bazı geometri terimlerinin bugün kullanılan karşılıklarına yer veren Geometri isimli kitaptan bahsedilerek öğrencilerin millî bilinç sahibi olma, millî kimliğini tanıma ve ülke varlıklarını korumaya yönelik duyarlılıklarının artırılması sağlanır (D19.2).

(*) Doğrulaması yapılan önerme ve teoremlerin ispatlarının nasıl olabileceğine dair fikir yürütmeleri, öğrencilerin eleştirel bakma eğilimlerinin gelişimini sağlayacaktır. Ayrıca öğrencilerden bu tür ispatların nasıl yapılabileceğine dair araştırmalar yapmaları istenir.

(*) Üçgende iç açıların ölçüleri toplamının her durumda 180° olup olmadığına ilişkin araştırma ödevi verilerek Öklid dışı geometriye ilişkin bilgi edinmelerinin sağlanması, öğrencilerin soru sorma eğilimlerini artıracaktır. Öğrencilerden araştırma sürecinde planlı, aktif ve bilimsel bir yaklaşım sergileyerek yeterliliklerini geliştirmeleri beklenir. Öğrencilerin araştırma görevleri sonucunda ürün oluşturmalarına ve ürünü uygun şekilde sunmalarına imkân tanınması, görev bilincine sahip olmalarına ve sorumluluk duygularının gelişimine katkı sağlayacaktır.

Öğrencilerin öncelikle ispatı yapılan önermelerin farklı üçgen çizimleri üzerinden doğrulamalarını yapmaları sağlanır. Daha sonra çeşitli materyaller kullanılarak öğrencilerin ispatları anlamlandırmaları için çalışmalar yapılır. Örneğin kâğıt katlama ya da kesme ile düzlemde üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğu gösterilir.

Farklı uzunluktaki üç çubuk veya kalemle üçgen oluşturma şartları incelenir. Benzer şekilde öğrencinin uygulama yapmasına imkân tanıyan etkileşimli içerikler (sanal manipülatifler gibi) kullanılır.

Öğrencilerin ispatlarını ve doğrulamalarını yaptıkları önermelere ilişkin çok adımlı ve karmaşık problem durumlarının çözümlerine geçmeden önce öğrencilere az adımlı çözümler içeren problem durumları sunulur. Öğrencilerin bu problemleri küçük gruplarda tartışarak çözmelerine, arkadaşlarının çözümlerine ilişkin geri bildirimde bulunmalarına imkân tanıyan öğrenme ortamları oluşturulur.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.