2. TEMA: NİCELİKLER VE DEĞİŞİMLER

MAB1. Matematiksel Muhakeme, MAB2. Matematiksel Problem Çözme, MAB3. Matematiksel Temsil (MAB3.2. Matematiksel Temsilleri Değerlendirme)

KB2.10. Çıkarım Yapma

E1.1. Merak, E3.6. Analitik Düşünme, E3.7. Sistematik Olma, E3.11. Özgün Düşünme

SDB1.1. Kendini Tanıma (Öz Farkındalık), SDB2.2. İş Birliği, SDB3.2. Esneklik

D5. Duyarlılık, D16. Sorumluluk

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB3. Finansal Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

MAT.10.2.1. Gerçek sayılarda fonksiyon olma şartları ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini matematiksel temsillerle değerlendirebilme
a) Gerçek sayılarda fonksiyon olma şartları ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) grafik ve cebirsel temsilleri üzerinden analiz eder.
b) Gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafik ve cebirsel temsillerini fonksiyon olma şartları ve fonksiyonların nitel özellikleri bakımından karşılaştırır.
c) Karşılaştırmalarından hareketle gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri ile nitel özellikleri hakkında yargıda bulunur.

MAT.10.2.2. Gerçek sayılarda f(x) = x² şeklinde tanımlı karesel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile bu fonksiyondan türetilen (g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0)) karesel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme
a) Karesel referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
b) Karesel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
c) Karesel referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer karesel fonksiyonlara dönüştürür.
ç) Karesel referans fonksiyon ile elde ettiği karesel fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
d) Karesel referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer karesel fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
e) Varsayımlarına dayalı olarak karesel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri (cebirsel, sayısal veya grafiksel) geneller.
f) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
g) Genellemelerinden elde ettiği önermeleri uygun sözel veya cebirsel dil ile sunar.
ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.
h) Önermelerini grafiksel olarak doğrular veya cebirsel olarak ispatlar.
ı) İşe koştuğu doğrulama veya ispat yöntemlerinin farklı durumlardaki kullanışlılığını değerlendirir.

MAT.10.2.3. Gerçek sayılarda şeklinde tanımlı karekök referans fonksiyonun nitel özellikleri ile bu fonksiyondan türetilen (g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0)) karekök fonksiyonlarının nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme
a) Karekök referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
b) Karekök referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
c) Karekök referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer karekök fonksiyonlarına dönüştürür.
ç) Karekök referans fonksiyon ile elde ettiği karekök fonksiyonlarının grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
d) Karekök referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer karekök fonksiyonlarının nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
e) Varsayımlarına dayalı olarak karekök fonksiyonlarının nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri (cebirsel, sayısal veya grafiksel) geneller.
f) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
g) Genellemelerinden elde ettiği önermeleri uygun sözel veya cebirsel dil ile sunar.
ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.
h) Önermelerini grafiksel olarak doğrular veya cebirsel olarak ispatlar.
ı) İşe koştuğu doğrulama veya ispat yöntemlerinin farklı durumlardaki kullanışlılığını değerlendirir.

MAT.10.2.4. Gerçek sayılarda f(x) = 1/x (x ≠ 0) şeklinde tanımlı rasyonel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile bu fonksiyondan türetilen (g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0)) rasyonel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme
a) Rasyonel referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
b) Rasyonel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
c) Rasyonel referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer rasyonel fonksiyonlara dönüştürür.
ç) Rasyonel referans fonksiyon ile elde ettiği rasyonel fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
d) Rasyonel referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer rasyonel fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
e) Varsayımlarına dayalı olarak rasyonel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri (cebirsel, sayısal veya grafiksel) geneller.
f) Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
g) Genellemelerinden elde ettiği önermeleri uygun sözel veya cebirsel dil ile sunar.
ğ) Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.
h) Önermelerini grafiksel olarak doğrular veya cebirsel olarak ispatlar.
ı) İşe koştuğu doğrulama veya ispat yöntemlerinin farklı durumlardaki kullanışlılığını değerlendirir.

MAT.10.2.5. Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına dair çıkarım yapabilme
a) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilebilen fonksiyonlar üzerinden bir fonksiyonun ters fonksiyonuna ilişkin varsayımlarda bulunur.
b) Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ilişkin genellemeler yapar.
c) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarıyla ilişkisine dair varsayımları ile genellemelerini karşılaştırır.
ç) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyon ilişkisine ait önermeleri matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunar.
d) Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait elde edilen önermeleri fonksiyonların genel özellikleri bağlamında değerlendirir.

MAT.10.2.6. Doğrusal, karesel, karekök, rasyonel referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizlikler içeren problemleri çözebilme
a) Bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenleri (nitel özellikleri ile cebirsel ve grafik temsilleri) belirler.     
b) Bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin matematiksel bileşenlerin aralarındaki ilişkileri belirler.
c) Bu fonksiyonlarla ifade edilebilen denklem ve eşitsizliklerin problem bağlamındaki temsillerini farklı temsillere dönüştürür.
ç) Dönüştürdüğü temsillerin problem bağlamındaki anlamını ifade eder.
d) Elde ettiği ve yorumladığı farklı temsillerden yararlanarak problemin çözümü için strateji oluşturur.
e) Belirlediği stratejiyi kullanır.
f) Elde ettiği çözümü farklı yöntemleri kullanarak doğrular.
g) Problemin olası çözüm stratejilerini gözden geçirir.
ğ) Problemin olası çözüm stratejilerinin farklı problem durumlarında kullanımı ile ilgili çıkarımlar yapar.
h) Çıkarımlarının geçerliliğini sözel, cebirsel ve grafiksel argümanlarla değerlendirir.

Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyon, Karekök Fonksiyonu ve Rasyonel Fonksiyonlar, Bu Fonksiyonların Nitel Özellikleri, Tersleri ve Bu Fonksiyonlarla İfade Edilebilen Denklem ve Eşitsizlikler

• Fonksiyonlar, niceliklerin birbirine bağlı değişimlerini temsil eder.
• Gerçek yaşam durumları, fonksiyonlarla modellenebilir.
• Fonksiyonlar, nitel özelliklerine göre sınıflandırılabilir.
• Referans fonksiyonlar, bir fonksiyon grubunun üretecidir.
• Fonksiyon grafikleri, cebirsel denklem ile eşitsizliklerin incelemesinin ve yorumlanmasının temel araçlarından biridir.

artanlık-azalanlık, bire birlik, fonksiyon, fonksiyonun işareti, fonksiyonun sıfırı, karekök fonksiyonu, karesel fonksiyon, kök, maksimum-minimum değer, maksimum-minimum nokta, örtenlik, parabol, rasyonel fonksiyon, simetri doğrusu, teklik-çiftlik, ters fonksiyon

Öğrenme çıktıları; çalışma kâğıdı, kavram haritası, zihin haritası, performans görevi, proje ve araştırma ödevi ile değerlendirilebilir. 

Öğrencilere gerçek sayılarda fonksiyon olma şartları ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini matematiksel temsillerle değerlendirebileceği çalışma kâğıdı verilebilir.

Karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonların nitel özellikleri ve bu referans fonksiyonların grafiklerine uygulanan dönüşümlerin fonksiyonun cebirsel temsilinde oluşturduğu değişime yönelik inceleme içeren performans görevinin değerlendirilebilmesi için analitik dereceli puanlama anahtarı hazırlanabilir.

Ekonomi, fizik ya da kimya alanlarına ilişkin gerçek yaşam durumlarında karşılaşılan problemler üzerinden karesel fonksiyonların nitel özelliklerini kullanmayı gerektiren proje ödevi; analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir.

Rasyonel referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların gerçek yaşam durumlarında ters orantıyla olan ilişkisini incelemek için verilen araştırma ödevi; hazırlık, içerik ve sunum süreçlerini içine alan derecelendirme ölçeği kullanılarak değerlendirilebilir.

Rasyonel referans fonksiyondan türetilen fonksiyonlar ve bu fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin önermeler için matematiksel doğrulama ve ispat yapmayı gerektiren çalışma kâğıdı verilebilir. Ortaya konan veriler, analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir. Çalışma sonunda öğrenciler, öz değerlendirme formuyla kendi performanslarını değerlendirebilir.

Karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların grafik ya da cebirsel temsili ile bu fonksiyonların ters fonksiyonunun grafik ya da cebirsel temsili arasındaki ilişkilere dair verilen çalışma kâğıdı, analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilebilir. Bu konuda verilen matematiksel araç ve teknoloji kullanımına ilişkin performans görevi, içerik ve sunum süreçlerini içine alan derecelendirme ölçeğiyle değerlendirilebilir. Doğrusal, karesel, karekök, rasyonel referans fonksiyonlardan ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlardan elde edilen denklem ve eşitsizliklerin kullanıldığı, gerçek yaşam problemleri içeren, öğrencilerin matematiksel modelleme yapabilme becerilerini geliştirmelerine katkı sağlayacak proje ödevi verilebilir. Ödevin değerlendirilmesinde hazırlık, içerik ve sunum süreçlerini içine alan derecelendirme ölçeği kullanılabilir.

Öğrencilerin üslü ve köklü ifadelerle işlemler yapabildikleri, cebirsel ifadelerde iki kare farkı ve tamkare özdeşliklerini kullanabildikleri, cebirsel ve grafik temsilleri üzerinden doğrusal referans fonksiyonu ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerini inceleyebildikleri, cebirsel veya grafik temsili verilen doğrusal fonksiyonların nitel özelliklerine dair çıkarımlar yapabildikleri, doğrusal referans fonksiyona dönüşümler uygulayarak farklı doğrusal fonksiyonlar türetebildikleri, doğrusal referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların cebirsel ve grafik temsili arasında geçiş yapabildikleri kabul edilmektedir.

Öğrencilere üslü ve köklü ifadelerle, özdeşliklerle ilgili işlem becerilerini ölçmeye yönelik hazır bulunuşluk testi yapılabilir. Gerçek yaşam durumu örnekleri üzerinden doğrusal referans fonksiyon ve bu fonksiyondan türetilen fonksiyonların nitel özellikleri incelenir. Öğrencilerin doğrusal referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin öğrenme eksiklikleri, açık uçlu sorular sorularak belirlenebilir. Öğrencilerin doğrusal referans fonksiyona dönüşümler uygulayarak farklı doğrusal fonksiyonlar türetebilmesine ve doğrusal referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların cebirsel ve grafik temsili arasında geçiş yapabilmesine dair becerilerinin, kavram yanılgılarının, ilgi ve ihtiyaçlarının belirlenmesi amacıyla hazır bulunuşluk testi yapılabilir.

Gerçek yaşamda karşılaşılan durumlar içerisinden fizikteki serbest düşme, köprü halatlarının parabolik yapısı ve birtakım mimari yapılardaki eğriler incelenerek doğrusal fonksiyonlar dışında bu durumları modelleyen fonksiyonların olup olmayacağı tartışılır. Doğrusal fonksiyonların grafik temsili dışında farklı fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri hakkında öğrencilerin fikir yürütmeleri istenir. Gerçek yaşamda karşılaşılan iki nicelik arasındaki doğrusal olmayan ilişkiler grafik ve tablo üzerinden incelenerek farklı fonksiyon temsillerine olan ihtiyacı öğrencilerin fark etmeleri sağlanır. Örneğin bir şirketin kampanya yaparken elde edebileceği gelire ilişkin olarak en yüksek gelirin nasıl hesaplanabileceği tartışılır. Bu noktada en yüksek gelir değeri matematiksel araç ve teknolojilerden (elektronik tablolar gibi) yararlanılarak grafik ve tablo yöntemiyle incelenebilir. Bunun gibi doğrusal olmayan fonksiyonların nasıl tanımlanabileceği ve nitel özelliklerinin neler olabileceği tartışılır.

MAT.10.2.1
Fonksiyonlar ile modellenebilen gerçek yaşam durumları üzerinden fonksiyonların tanım ve değer kümelerinin, fonksiyon olma koşullarının neler olabileceğine dair tartışma yapılır. Örneğin bir hareketlinin konum-zaman fonksiyonu üzerinden zaman ve konum değerlerinin pozitif gerçek sayılar olacağı, belirli bir anda birden fazla noktada bulunamayacağı fikri üzerinden fonksiyonun tanım ve görüntü kümesinin, fonksiyon olma şartlarının neler olabileceği tartışılır. Ardından doğrusal fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri incelenerek verilen bir doğrusal ilişkinin fonksiyon olma şartlarını taşıdığı belirlenir. Bu sayede öğrencilerin önceki öğrenmelerinden tanım, görüntü, değer kümeleri ve değişkenler arası ilişkiler bağlamında fonksiyon olma şartlarını ve farklı fonksiyonların nitel özelliklerini nasıl belirleyebileceklerine dair stratejiler üretmeleri beklenir (SDB1.1). Elde edilen varsayımlar kullanılarak verilen grafik temsillerinin fonksiyon olma şartları ve nitel özellikleri (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) analiz edilir. Bu analiz yapılırken “Tanım kümesindeki her bir gerçek sayının değer kümesinde yalnızca bir karşılığı vardır.”, “Tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesindeki karşılıkları da farklıdır.”, “Tanım kümesindeki farklı x, y elemanları için x > y ise f(x) > f(y) veya f(x) < f(y) dir.” gibi önermeler fonksiyonların cebirsel veya grafik temsilleri kullanılarak değerlendirilir. Gerçek sayılarda tanımlı bir f fonksiyonunun işaret incelemesi, grafik temsili üzerinden yapılır. Yapılan incelemelerden hareketle öğrencilerin bir grafik veya cebirsel temsilin hangi durumlarda bir fonksiyon belirttiği ve bir fonksiyonun nitel özelliklerinin grafik veya cebirsel olarak nasıl temsil edildiği ile ilgili yargıda bulunmaları beklenir. Grafik temsili verilen farklı fonksiyonların nitel özellikleriyle grafik temsilleri arasında ilişkilerin kurulması için sınıf içi tartışmalar yapılır. Ayrıca öğrencilerden fonksiyonların nitel özelliklerini kavram haritası ve zihin haritası gibi araçlarla göstermesi istenebilir.

Fonksiyon kavramının ortaya çıkışının temelinde iki niceliğin birbirine bağlı değişiminin ifade edilmesinin gerekliliği belirtilir. Eski uygarlıkların kimi hesaplamalarında örtük olarak fonksiyon kavramını işe koştukları örneklere (gökyüzü gözlemlerinde bir gök cisminin zaman-konum ilişkisine yönelik yapılan çıkarımlar gibi) yer verilir. 1700’lü yıllara gelindiğinde matematiğin sembolik dilinin gelişimi ve dik koordinat sisteminin ortaya çıkmasıyla fonksiyonların cebirsel ve grafik temsillerinin gelişmeye başladığı vurgulanır. Euler’in fiziksel nicelikler arasındaki bağımsız-bağımlı değişken ilişkisi üzerinden fonksiyon tanımını ve sembollerini geliştirdiği, Dirichlet’nin (Dirikli) bu tanımı daha formel hâle getirdiği belirtilir. Fonksiyon kavramının keyfî kümeler bağlamındaki tanımına değinilmeden bugünkü fonksiyon kavramının tanımının iki nicelik arasındaki ilişkiden daha soyut ve daha genel bir yapıda olduğu belirtilir. Bununla birlikte gerçek sayılarda tanımlı ve iki nicelik arasındaki ilişkiyi ifade eden fonksiyonlarla hemen her alanda karşılaşılabileceği belirtilerek öğrencilerin fonksiyon kavramının işlevsel boyutuna odaklanmaları sağlanır (E1.1, E3.6, E3.7). Öğrencilere gerçek sayılarda fonksiyon olma şartları ile gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini matematiksel temsillerle değerlendirebileceği çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.10.2.2
Karesel referans fonksiyonun grafiğini belirlemek için tablo temsili kullanılır. Karesel ilişkiye örnek teşkil eden gerçek yaşam durumları, grafik ve tablo yöntemiyle ele alınır. Grafik temsiliyle ilişkilendirilerek karesel referans fonksiyonun nitel özellikleri (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği, maksimum-minimum noktaları) belirlenir. Ayrıca referans fonksiyonun cebirsel ve grafik temsili incelenerek maksimum-minimum noktası, maksimum-minimum değeri ve simetri doğrusu açıklanır (E3.6, E3.7). Öğrencilerin simetri doğrusu ile fonksiyonun tekliği-çiftliği arasında ilişki kurmaları sağlanır. f karesel referans fonksiyonu olmak üzere f nin grafiğine yapılan dönüşümlerle (g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0)) diğer karesel fonksiyonların cebirsel ve grafik temsilleri elde edilir. Dönüşümler yapılırken r ve k değerlerinin her ikisinin veya birinin 0 olduğu durumlar aşamalı olarak ele alınır. Grafik temsilleri ile cebirsel temsillerdeki katsayıların ilişkileri yorumlanır. Dijital araçlarla iş görme becerilerini geliştirmek için dönüşümler elde edilip yorumlanırken matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, MAB5). Bu fonksiyonların cebirsel temsili karesel fonksiyon, grafik temsili ise parabol olarak adlandırılır. Cebirsel temsili verilen fonksiyonun grafik temsilinde işaretini, eksenleri kestiği noktaları, artan-azalan olduğu aralıkları, maksimum-minimum noktalarını ve değerlerini bulmaları için öğrencilerden hem kâğıt ve kalemle hem de matematik yazılımlarıyla çalışarak elde ettikleri sonuçları karşılaştırmaları istenir (OB2, MAB5). Bu incelemeler, aynı zamanda fonksiyonun cebirsel incelemeleri ile de eşleştirilir (OB4). Öğrencilere karesel referans fonksiyonun grafik temsiline yapılan dönüşümlerin fonksiyonun cebirsel temsilinde oluşturduğu değişime yönelik inceleme içeren performans görevi verilebilir. Öğrencilerden bu performans görevini titiz bir şekilde hazırlayarak zamanında ve eksiksiz teslim etmeleri beklenir. Böylece öğrencilerin sorumluluk değerini kazanmaları desteklenir (D16.3).

Öğrenciler, karesel referans fonksiyonun grafik temsiline dönüşümler uygulanarak elde edilen fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlar geliştirmeleri için teşvik edilir. Varsayımlar geliştirilirken cebirsel ve grafiksel incelemelerin birlikte yürütülmesine önem verilir. Özel olarak fonksiyonun cebirsel temsiliyle fonksiyonun sıfırları, artan-azalan olduğu aralıklar, maksimum-minimum noktalarının koordinatları arasında ilişkiler kurulur. Örneğin gerçek sayılarda f(x) = x² + 4x şeklinde tanımlı fonksiyonun artan-azalan olduğu aralıklara yönelik varsayım geliştirilirken fonksiyonun sıfırları (0 ve -4) ve grafiğinin simetrik olması dikkate alınarak artan-azalan olduğu aralıkların belirlenmesini sağlayan noktanın koordinatlarının (-2, -4) olduğu ifade edilir. Aynı zamanda fonksiyonun cebirsel ifadesi, f(x) = (x + 2)² − 4 şeklinde tamkareye tamamlanarak grafik temsili dönüşümlerle elde edilir. Bu şekilde fonksiyonun artan-azalan olduğu aralıklar hakkında varsayımlara ulaşılır. Bu varsayımlar, verilen bir tanım aralığının fonksiyondaki karşılığı olan aralığı belirlerken (“x < 0 iken f(x) = x² hangi aralıkta değer alır?” veya “- 1 < x < 3 iken f(x) = x² hangi aralıkta değer alır?” gibi) fonksiyonun maksimum-minimum noktasının dikkate alınmasını da içermelidir.

Cebirsel temsili f(x) = ax² + bx + c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) genel formunda olan karesel fonksiyonların f(x)= a(x ± r)² ± k (r, k ∈ ℝ) tamkare formuna dönüştürülmesine ilişkin yorumlar, varsayımlar geliştirmede etkin şekilde kullanılır. Bu bağlamda Harizmi’nin tamkareye tamamlama yöntemini geometrik modellerden yararlanarak nasıl işe koştuğu incelenir ve bu yöntemin uygulaması yapılır. Böylece öğrencilerin kültürel mirasa yönelik duyarlı olmaları sağlanır. Bu varsayımlardan hareketle öğrencilerden fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin genellemeleri elde etmeleri ve genellemelerle varsayımları karşılaştırarak elde ettikleri önermeleri sözel veya sembolik dille sunmaları beklenir. Genellemelerden elde edilen önermeler ekonomi, fizik, kimya ve biyoloji alanlarına ilişkin gerçek yaşam durumlarında karşılaşılan problemlerde değerlendirilir. Örneğin bir ürünün fiyatındaki artış miktarı ile o ürünü satın almak isteyen müşteri sayısındaki ilişki incelenerek gelir fonksiyonu modellenebilir. Gelir fonksiyonunda en yüksek gelirin elde edilmesini sağlayan zam miktarı, önermeler kullanılarak belirlenir (OB3). Bu problemler üzerinden karesel fonksiyonların nitel özelliklerini kullanmayı gerektiren proje ödevi verilebilir. Öğrencilerden bu proje ödevini titiz bir şekilde hazırlayarak zamanında ve eksiksiz teslim etmeleri beklenir. Böylece öğrencilerin sorumluluk değerini kazanmaları desteklenir (D16.3).

Karesel fonksiyonların matematiksel temsilleri, dönüşüm süreçleri ve nitel özellikleri hakkında elde edilen önermelere ilişkin olarak nasıl matematiksel doğrulama veya ispat yapılabileceği gösterilir. Örneğin a ∈ ℝ ve a ≥ 0 için cebirsel temsili f(x)= x² + a olan fonksiyonların artan-azalan olduğu aralıklar ile maksimum-minimum değerleri hakkındaki varsayımların doğruluğu incelenirken “ ∀x ∈ ℝ için x² ≥ 0 olduğundan x² + a ≥ a olur. Bu durumda ∀x ∈ ℝ için f(x) ≥ a olur.” cebirsel genellemesi yapılabilir. Buradan hareketle öğrencilerin fonksiyonun minimum değerinin a olduğu ve bu değeri x= 0 noktasında aldığı sonucuna ulaşmaları sağlanır. Böylelikle öğrencilerin fonksiyonun nitel özelliklerini cebirsel ve grafiksel olarak eş zamanlı ve ilişkili bir biçimde inceleyebilmelerinin yanı sıra cebirsel dil ve sembolizmle mantık bağlaçlarını ve niceleyicileri uygun şekilde kullanabilmeleri desteklenir. Burada önermeler öğrenciler tarafından çözümlenir ve kendi başına matematiksel doğrulama yapabilmeleri için öğrencilere önermelerden oluşan çalışma kâğıdı verilebilir (E3.11). Öğrencilerden tamkareye tamamlama, grafik temsilinden yararlanma, genel formu (f(x) = ax² + bx + c) kullanma ve çarpanlara ayırma gibi matematiksel doğrulama yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendirmeleri beklenir.

MAT.10.2.3 ve MAT.10.2.4
Karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme süreçleri, karesel referans fonksiyonun muhakeme süreçlerine benzer şekilde gerçekleştirilir.

Özel olarak bir fonksiyonun tekliğinin-çiftliğinin cebirsel incelemesinden hareketle karekök referans fonksiyonun tekliği veya çiftliğinden neden bahsedilemeyeceği tartışılır; bu durum, fonksiyonun grafik temsili ile ilişkilendirilir.

Rasyonel referans fonksiyonun tablo temsilinden elde edilen değerlerden yararlanılarak öğrencilerin grafik temsili üzerinden (0, ∞) nda bağımsız değişkenin aldığı değerlerin küçülmesine bağlı olarak fonksiyonun aldığı değerlerin sınırsız bir biçimde büyüyeceği, (-∞, 0) nda ise bağımsız değişkenin aldığı değerlerin büyümesine bağlı olarak fonksiyonun aldığı değerlerin sınırsız bir biçimde küçüleceği çıkarımlarına ulaşmaları beklenir. Bu durum, fonksiyonun grafik temsilinin Oy eksenine yaklaşması durumuyla ilişkilendirilir. Benzer şekilde öğrencilerin (0, ∞) nda bağımsız değişkenin aldığı değerlerin büyümesine, (-∞, 0) nda ise bağımsız değişkenin aldığı değerlerin küçülmesine bağlı olarak fonksiyonun aldığı değerlerin giderek sıfıra yaklaştığı çıkarımına ulaşmaları beklenir. Bu durum, fonksiyonun grafik temsilinin Ox eksenine yaklaşması durumuyla ilişkilendirilir. Rasyonel referans fonksiyonun sıfırdan farklı her gerçek sayıyı çarpmaya göre tersine çevirdiği vurgulanır. “ ∀a, b ∈ ℝ - {0} ve a ile b aynı işaretli olmak üzere a < b ⇒ 1/a > 1/b olur.” önermesinden de yararlanılarak fonksiyonun (- ∞, 0) ve (0, + ∞) nın her birinde azalan olduğu sonucuna ulaşılır. Verilen bir tanım aralığının fonksiyondaki karşılığı olan aralığı belirlerken verilen aralıkla rasyonel referans fonksiyonun azalan olduğu aralıklar arasındaki ilişkinin dikkate alınması sağlanır (“-5<x<0 iken f(x)= 1/x hangi aralıkta değer alır?” veya “x>4 iken f(x)= 1/x hangi aralıkta değer alır?” gibi).

Öğrencilerin rasyonel referans fonksiyonun azalan olduğu belirli bir tanım aralığı için görüntü değerlerinin hangi aralıkta yer alacağını cebirsel temsil veya grafik temsilinden yararlanarak belirlemeleri ve uygun bir şekilde ifade etmeleri sağlanır. Benzer şekilde öğrencilerin fonksiyonun iki nicelik arasında ters orantısal bir ilişkiyi temsil ettiğini fark etmeleri sağlanarak bu fonksiyonun gerçek yaşam problemlerinde hangi nicelikler arasındaki ilişkiyi modellemek için kullanılabileceği tartışılır. Öğrencilere karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlar ve bu fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel doğrulama ve ispat yapmayı gerektiren çalışma kâğıdı verilebilir.

Öğrencilere karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonların nitel özellikleri ve bu referans fonksiyonların grafiklerine uygulanan dönüşümlerin fonksiyonun cebirsel temsilinde oluşturduğu değişime yönelik inceleme içeren performans görevi verilebilir.

MAT.10.2.5
Cebirsel temsili verilen doğrusal fonksiyonlardan hareketle bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirdiği durumlar, tablo temsili kullanılarak incelenir. Oluşan yeni fonksiyonun da yine bir doğrusal fonksiyon olduğu, grafik temsili üzerinde incelenir ve cebirsel temsil elde edilir. Öğrencilerden bu iki doğrusal fonksiyonun birbirinin tersi olduğuna dair varsayımlar geliştirmesi beklenir. Rasyonel referans fonksiyondan hareketle bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirdiği durum, tablo temsili kullanılarak incelenir. Benzer şekilde karesel referans fonksiyonda bağımlı ve bağımsız değişken yer değiştirdiğinde elde edilen ilişkinin fonksiyon olup olmadığı tartışılır. Bu ilişkinin fonksiyon olmadığı fark edildikten sonra öğrencilerden karesel referans fonksiyonun bire bir ve örten olmaması nedeniyle oluşan yeni ilişkinin bir fonksiyon göstermediği varsayımında bulunmaları beklenir. Bu bağlamda tanım kümesinin düzenlenmesiyle bire bir ve örtenliğin sağlanacağı belirlenir. Böylece öğrencilerin karesel referans fonksiyonun tersinin de fonksiyon olma şartına yönelik bir varsayımda bulunmaları beklenir. Öğrencilerden doğrusal, karesel ve karekök referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların hangi durumlarda terslerinin de fonksiyon olabileceği hakkında genellemeler yapmaları ve bu genellemeleri fonksiyonların grafik temsilleri arasında ilişkiler kurarak karşılaştırmaları beklenir. Öğrenciler karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların terslerinin cebirsel temsillerinin birer fonksiyon olmasına ilişkin şartları önerme olarak sunabilmeleri için desteklenir. Karesel ve karekök referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların tanım kümeleri fonksiyonlar bire bir ve örtenolacak şekilde düzenlenerek fonksiyonların terslerinin cebirsel temsilleri elde edilir. Elde edilen önermeler, doğrusal ve karesel fonksiyonların grafik temsilleri üzerinde yapılacak çalışmalarda değerlendirilir. Bu kapsamda bir fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriği ile fonksiyonun tersinin grafiği arasındaki ilişkinin incelendiği çalışmalarda matematik yazılımları kullanılır (MAB5). Karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonların grafik ya da cebirsel temsili ile bu fonksiyonların ters fonksiyonunun grafik ya da cebirsel temsili arasındaki ilişkilere dair çalışma kâğıdı verilebilir.

MAT.10.2.6
Referans fonksiyonlar ve bu fonksiyonlar kullanılarak çözülebilecek veya modellenebilecek problemler, mümkün olduğunca geniş bir çerçevede ele alınır. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin tarihî gelişim sürecine; bu süreçte rol alan Brahmagupta (Bırahmagupt), Harizmi ve Abdülhamid bin Türk'ün çalışmalarına yer verilerek bu çalışmaların önemi vurgulanır. Böylece öğrencilerin kültürel mirasa yönelik duyarlı olmaları sağlanır. Karesel fonksiyonların kullanımını gerektiren temel optimizasyon (en iyileme) problemleri, üretim-tüketim gibi bağlamlarda incelenir. Rasyonel referans fonksiyonun temsil ettiği ters orantılı nicelikler arasından uygun olanlar, problem bağlamlarında ele alınır. Örneğin kâr ve maliyet arasında olabilecek ters orantılı ilişki, rasyonel referans fonksiyon veya bu fonksiyondan türetilen fonksiyonlar aracılığıyla modellenebilir (OB3). Rasyonel referans fonksiyondan türetilen fonksiyonların gerçek yaşam durumlarında ters orantıyla olan ilişkisini incelemek için öğrencilere araştırma ödevi verilebilir.

Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonlarla “=, <, >, ≤, ≥” sembolleri kullanılarak oluşturulan denklem ve eşitsizliklere ilişkin bileşenler belirlenir. Bu bileşenlerin aralarındaki ilişkiler belirlenerek f(x)=0, f(x)=g(x), f(x)<g(x), f(x)≤g(x) gibi denklem ve eşitsizliklerin tanımlanması sağlanır (E3.6, E3.7). Burada kullanılan denklem ve eşitsizliklerin cebirsel formları en fazla ikinci dereceden olmalıdır. Problemler sonucunda ulaşılacak ifadelerin tamkareye kolayca tamamlanacak türden olmalarına dikkat edilir. Yukarıdaki referans fonksiyonları içeren problem durumlarından elde edilen denklem ve eşitsizliklerin matematiksel temsilleri arasında (sözel, tablo, grafik, cebirsel) dönüşüm yapılır (E3.6, E3.7). Bu temsiller arası geçişlerin gösterilebilmesi amacıyla elektronik tablolardan ve matematik yazılımlarından yararlanılır (OB2, MAB5). Öğrencilerin dönüştürülen temsillerin problem bağlamındaki anlamlarını sözel bir dille ifade etmeleri istenir.

Verilen problem durumlarına ilişkin denklem ve eşitsizliklerin çözümlerine ulaşabilmek için deneme yanılma, tamkareye tamamlama, fonksiyonun nitel özelliklerinden ve grafik temsilinden yararlanma gibi yöntemler ilişkili biçimde kullanılır. f karesel bir fonksiyon olmak üzere f(x) < 0 gibi eşitsizliklerin çözüm aralığını bulmak için f fonksiyonunun grafik incelemesinden yararlanılabileceği gibi fonksiyonun cebirsel ifadesinin tamkare formundan hareketle elde edilen birinci dereceden çarpanlarından da yararlanılır. Bu bağlamda fonksiyonun cebirsel ifadesinin birinci dereceden çarpanlarının işaret değişimini temsil eden işaret tablosu kullanılır. Verilen farklı problem durumlarında uygun bir strateji belirlenirken grafiksel veya cebirsel yaklaşımlardan birisinin seçilmesi durumunda diğer yaklaşımın çözüme veya çözümün kontrolüne getireceği farklı yorumlar da dikkate alınır (SDB3.2).

ax² + bx + c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) gibi bir cebirsel ifadenin (mx ± k)(nx ± p) (m, k, p, n ∈ ℝ, m ≠ 0, n ≠ 0) şeklindeki çarpanlara ayrılmış formunu elde etmek için a ve c katsayılarının çarpanlarından yararlanmaya dayalı yöntemlere yer verilmez. Benzer şekilde işlemsel yönü fonksiyonların değişim ve dönüşümünün önüne geçen diskriminant yöntemi, kök-katsayı ilişkileri, kökler toplamı veya çarpımı gibi özel formüllere veya kurallara yer verilmez; öğrencilerin fonksiyonun maksimum-minimum noktasının (-b/2a , f(-b/2a)) ve maksimum-minimum değerinin f(-b/2a) olduğu genellemesine ulaşmaları sağlanır. Gerçek yaşam durumlarının incelenmesi sonucu elde edilen ve tamkareye tamamlanması zaman alacak veya hesaplama hatası oluşturabilecek ifadeler için elektronik tablo ve matematik yazılımları etkin şekilde kullanılır (MAB5). Öğrencilerden gerçek yaşam problemlerine karşılık gelen fonksiyonların grafiklerini dik koordinat sisteminde çizerek problemi temsil eden denklem veya eşitsizlikleri bu grafiklerle ilişkilendirmeleri beklenir. İlişkilendirmeden elde ettikleri bilgileri yorumlayıp problemin çözümünü gözden geçirmeleri sağlanır. Örneğin bir işletmenin satışını yaptığı bir ürünün miktarına (kg) bağlı olarak gelirinin (Türk lirası) ve maliyetinin (Türk lirası) [0, ∞) nda tanımlı sırasıyla f(x) =4x² ve g(x)=18x fonksiyonları ile modellendiği durumda bu fonksiyonların grafik temsillerinden yararlanılarak üründen elde edilen gelirin maliyetini karşılayabilme durumu değerlendirilebilir. Buna göre f ve g fonksiyonlarının dik koordinat sisteminde çizilen grafikleri yardımıyla f(x)≥g(x) eşitsizliğinin çözüm kümesi, [9/2, ∞) olarak belirlenir. Bu durumda işletmenin 4,5 kg'dan daha fazla ürün satması durumunda üründen elde edilecek gelirin ürünün maliyetinden fazla olacağı sonucuna ulaşılır.

Referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlardan elde edilen denklem ve eşitsizliklere ilişkin problemlerin farklı yollardan çözülebilmesi için grup çalışması yapılır. Böylece öğrencilerin birbirleriyle fikir alışverişinde bulunmaları ve farklı düşüncelerde uzlaşmaları sağlanır (SDB2.2). Bu problemlerde kullanılan gerçek yaşam durumlarının ekonomi, fizik, kimya, biyoloji, mühendislik ve mimari gibi alanlarla ilgili olması beklenir. Örneğin ekonomide gelir; fizikte hareket, atışlar, enerji; kimyada gaz basıncı; biyolojide popülasyon gibi bağlamlar kullanılır. Öğrencilerden çözüme ulaştıran stratejilerin başka problem durumlarına uyarlanıp uyarlanamayacağına yönelik çıkarımlar yapmaları ve bu çıkarımları matematiksel bir modele dönüştürmeleri istenir. Elde edilen matematiksel modeller, sınırlılık ve verimlilik açısından değerlendirilir. Gerçek yaşam durumu problemlerinde kullanılan, referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyonları içeren denklem ve eşitsizlik çözümleri ile ilgili stratejiler; verimlilik ve kullanışlılık açısından değerlendirilir. Öğrencilere doğrusal, karesel, karekök, rasyonel referans fonksiyonlardan ve bu fonksiyonlardan türetilen fonksiyonlardan elde edilen denklem ve eşitsizliklerin kullanıldığı, gerçek yaşam problemleri içeren proje ödevi verilebilir.

(*) Bilgisayar bilimleri, ekonomi, fizik, kimya gibi farklı disiplinlerde geçen karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlardan türetilen fonksiyon durumlarının keşfedilmesine ve bu durumların matematiksel temsillerle ilişkilendirilmesine yönelik araştırma ödevi verilir.

(*) Öğrencilere karesel bir ifadenin tamkareye tamamlanmasının genellenmesi ve her karesel ifadenin iki tane birinci dereceden ifadenin çarpımı şeklinde yazılıp yazılamaması hakkında araştırmalar yaptırılır. Bu tartışmalarla öğrencilerin sanal köklerin varlığı ve denklemin derecesi ile kök sayısı arasındaki ilişkinin genellenmesi gibi konularda temel düzeyde bilgi sahibi olmaları sağlanır.

(*) Burada karesel bir fonksiyonun cebirsel temsili tamkare formunda yazıldıktan sonra, belirlenen gerçek sayı olmayan kökler üzerinden hareketle sanal sayı kavramı ve karmaşık sayılar kümesine ilişkin genel bilgilere yer verilir.

Öğrencilerin önceki öğrenme eksikliklerinin giderilmesi amacıyla basit gerçek yaşam örnekleriyle desteklenerek fonksiyonların anlamlandırılmasında önemli bir yeri olan bağımlı-bağımsız değişken kavramlarına yer verilir. Sayı tahmin etme gibi eğitici oyunlar oynanarak öğrencilerin fonksiyon kavramını anlamlandırma süreçleri desteklenir. Karesel örüntü içeren daha fazla gerçek yaşam problemi incelenir. Karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonların nitel özellikleri incelenirken elektronik tablolar aracılığıyla elde edilen sayısal değerlerden mümkün olduğunca yararlanılır.

Bu fonksiyonların kullanıldığı gerçek yaşam durumu örnekleri öğrencilerin yakın çevresi dikkate alınarak çeşitlendirilir. Böylelikle öğrencilerin konuya karşı olan ilgi ve motivasyonları artırılır. Bu fonksiyonların temsil edilebileceği somut materyaller kullanılır.

Öğrencilere bu fonksiyonları cebirsel olarak ifade edebilmeye, grafik temsilde yorumlayabilmeye yönelik, kişiselleştirilmiş geri bildirimler verilerek değerlendirmeler yapılır. Bu fonksiyonlarla ilgili performans görevleri ve çalışma kâğıtları için daha fazla zaman verilir. Geri bildirimlerde ve değerlendirmelerde çoklu ortam (sözlü, yazılı, görsel gibi) kullanılır.

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.