3.TEMA: GEOMETRİK ŞEKİLLER

MAB2. Matematiksel Problem Çözme

KB2.10. Çıkarım Yapma, KB2.14.Yorumlama

E2.5. Oyunseverlik, E3.8. Merak Ettiği Soruları Sorma, E3.11. Özgün Düşünme

SDB1.3. Öz Yansıtma/Kendine Uyarlama, SDB2.1. İletişim, SDB2.2. İş Birliği

D3. Çalışkanlık

OB2. Dijital Okuryazarlık, OB4. Görsel Okuryazarlık

MAT.8.3.1. Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi yorumlayabilme
a) Üçgenin kenar ve açı özelliklerini inceler.
b) Üçgenin kenar uzunluklarının büyüklüğüne göre açıların ölçülerini, açıların ölçülerinin büyüklüğüne göre kenar uzunluklarını sıralar. 
c) Üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.

MAT.8.3.2. Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye yönelik çıkarım yapabilme
a) Üçgen oluşturabilen üç doğru parçasının uzunluklarına dair varsayımda bulunur.
b) Varsayımda bulunduğu doğru parçaları ile oluşturduğu üçgenleri listeler. 
c) Üçgen oluşturan doğru parçalarının uzunlukları ile varsayımlarını karşılaştırır. 
ç) Üçgen oluşturan doğru parçalarının uzunlukları arasındaki ilişkiye dair önerme sunar.
d) Sunduğu önermenin katkısına yönelik gerekçeler sunar.

MAT.8.3.3. Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair çıkarım yapabilme
a) Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair varsayımda bulunur.
b) Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla varsayımlarına uygun üçgenler oluşturur.
c) Oluşturduğu üçgenleri varsayımları ile karşılaştırır.
ç) Bir üçgene eş üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önerme sunar.
d) Önermesinin iki üçgenin eş olup olmadığını incelemeye yönelik katkısını değerlendirir.

MAT.8.3.4. Bir üçgene benzer üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair çıkarım yapabilme
a) Bir üçgene benzer üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair varsayımda bulunur.
b) Matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla varsayımlarına uygun benzer üçgenler oluşturur.
c) Oluşturduğu üçgenleri varsayımları ile karşılaştırır.
ç) Bir üçgene benzer üçgen oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önerme sunar.
d) Önermesinin iki üçgenin benzer olup olmadığını incelemeye yönelik katkısını değerlendirir.

MAT.8.3.5. Kenar uzunlukları a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan üçgenleri oluşturarak dik üçgen olduklarını; dik üçgenlerde dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının hipotenüs uzunluğunun karesine eşit olduğunu yorumlayabilme
a) a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan rasyonel sayıları inceler.
b) Kenar uzunlukları a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan üçgeni oluşturarak dik üçgen olduğunu; dik üçgenlerde hipotenüs uzunluğunun karesinin diğer iki kenarın uzunluklarının kareleri toplamına eşit olduğunu belirler.

c) Pisagor bağıntısını üçgende açı-kenar ilişkisi ve üçgen eşitsizliği ile ilişkilendirerek dar açılı ve geniş açılı üçgenlerdeki kenar uzunluklarının ilişkisini ifade eder.

MAT.8.3.6. Üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısını içeren problemleri çözebilme                                                                                         

a) Üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısını içeren problemlerde ilgili matematiksel bileşenleri (açıların ölçüsü, kenarların uzunluğu, şekil gibi) belirler.                         

b) Matematiksel bileşenler arasındaki ilişkileri belirler.                                                   

c) Problem bağlamındaki temsilleri farklı temsillere dönüştürür.                                 

ç) Matematiksel temsillere dönüştürdüğü problemi kendi ifadeleri ile açıklar.           

d) Problemin çözümünü gerçekleştirmek için stratejiler geliştirir.                                 

e) Belirlenen stratejileri çözüm için uygular.                                                                   

f) Çözüm yollarını kontrol eder ve çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirir.               

g) Problemin çözümü için kullandığı stratejileri gözden geçirerek kısa yolları değerlendirir.         

ğ) Kullandığı strateji veya stratejileri farklı problemlerin çözümlerine geneller.           

h) Genellemenin geçerliliğini matematiksel örneklerle değerlendirir.

Üçgende Açı-Kenar İlişkisi
Üçgen Eşitsizliği
Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik
Pisagor Bağıntısı

Genellemeler
• Bir üçgende açıların büyüklükleri ile açıların gördükleri kenar uzunlukları ilişkilidir.
• Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür.
• Eş şekiller aynı zamanda benzerdir.
• Benzer üçgenlerin karşılıklı kenar uzunluklarının oranı eşittir.
• Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
Anahtar Kavramlar
benzerlik, benzerlik oranı, eşlik, hipotenüs, Pisagor bağıntısı, üçgen eşitsizliği
Sembol ve Gösterimler
≅ , ~

Öğrenme çıktıları; çalışma kağıdı, izleme testi, performans görevi, öz değerlendirme ve akran değerlendirme formu ile değerlendirilebilir. 
Pisagor’un hayatının, çalışmalarının ve Pisagor bağıntısının keşfinin araştırıldığı bir performans görevi verilebilir. Öğrencilerin performans görevinde ulaştıkları bilgileri dijital araçlar ile arkadaşlarına sunmaları sağlanabilir. Performans görevi bilgi toplama, bilgiyi analiz etme, sunum hazırlama gibi kriterleri barındıran bütüncül veya analitik dereceli puanlama anahtarı ile, grup çalışmaları da öz değerlendirme ve akran değerlendirme formu ile değerlendirilebilir.

Tema boyunca işlenen öğrenme çıktıları/süreç bileşenleri hakkında öğrencilerin eksik öğrenmelerini belirlemek ve gidermek amacıyla izleme testi uygulanabilir.
Performans ürünü, çalışma kâğıdı ve izleme testi sonuç değerlendirme olarak kullanılabilir.

Öğrencilerin en az üç doğrunun ikişerli kesişimi ile üçgen oluşturabildikleri, matematiksel araçları (cetvel, ölçüsüz cetvel, pergel, gönye, açıölçer) kullanabildikleri, düzlemde kesişen iki çember ile üçgenler inşa edebildikleri ve üçgenin yardımcı elemanlarını belirleyebildikleri kabul edilmektedir.

Üçgen inşası, üçgenin açıları ve yardımcı elemanları ile ilgili ön bilgi ve becerilerin tespit edilmesi amacıyla açık uçlu sorulardan oluşan çalışma kâğıdı kullanılabilir. 
Öğrencilerin rasyonel sayıların karesini ve tam kare pozitif tam sayıların karekökünü belirlemeye yönelik ön bilgileri doğru/yanlış kartları kullanılarak değerlendirilebilir.

İç açılarının ölçüleri ve iki kenarının uzunluğu bilinen bir üçgende üçüncü kenarın uzunluğunun tahmin edilmesine yönelik çalışmalar yapılır. İlgili çalışmada açı çeşitlerine göre farklı üçgenlerin incelenmesi sağlanır.

MAT.8.3.1
Öğrencilerden matematiksel araç ve teknolojiden (cetvel, ölçüsüz cetvel, gönye, açıölçer, pergel, geometri şeritleri, geometri tahtası, matematik yazılımı gibi) yararlanarak kenar uzunlukları farklı üçgenler oluşturmaları istenir (MAB5, OB2). Üçgenlerin kenar uzunluklarını ve iç açılarını ölçerek ölçme sonuçlarını tablo temsili yardımıyla düzenlemeleri ve karşılaştırmaları beklenir (MAB3). Öğrencilerin üçgenlerin iç açılarının ölçüleri ile açıların karşısındaki kenarların uzunlukları arasında bir ilişki olup olmadığını üçgen çeşitleri üzerinden tartışmaları sağlanır. Ölçüsü büyük olan açının karşısında uzun kenar, küçük olanın karşısında kısa kenar olduğuna yönelik ilişkiyi ifade etmeleri beklenir. Ayrıca dik ve geniş açılı üçgenlerde öğrencilerin dik açının ve geniş açının karşısındaki kenarın en uzun kenar olduğunu açıklamaları sağlanır. Öğrencilerin üçgende açı-kenar ilişkisini yorumlamalarına yönelik çalışma kâğıdı uygulanabilir. Çalışma kağıdında farklı soru türleri (açık uçlu, kısa cevaplı sorular, doğru yanlış, eşleştirme soruları) kullanılabilir.

MAT.8.3.2
Öğrencilerin bir üçgen oluşturabilmek için kenar uzunluklarının ne olması gerektiğine yönelik varsayımlarda bulunmaları (4cm-5cm-6cm, 3cm-3cm-7cm gibi) beklenir. Varsayımda bulundukları kenar uzunluklarından hareketle pergel, cetvel, geometri şeritleri yardımıyla (veya matematik yazılımı aracılığıyla (OB2) üçgenler oluşturmaları istenir (E3.11). Üçgen oluşan ve oluşmayan durumlardaki doğru parçalarının uzunluklarını tablo temsili (MAB3) aracılığıyla listelemelerine ve karşılaştırmalarına fırsat verilir. İki kenar uzunluğu verildiğinde, üçgen oluşturabilmek için üçüncü kenar uzunluğunun alabileceği değerlerin öğrenciler tarafından sorgulanması beklenir. Belirli uzunluktaki doğru parçalarının neden üçgen oluşturmadığı üzerine tartışma yapmaları sağlanır (E3.8). Süreçte öğrencilerin somut veya sanal manipülatiflerden yararlanmalarına fırsat verilebilir (MAB5). Üçgende bir kenar uzunluğunun diğer iki kenar uzunluğunun farkı ve toplamı ile ilişkili olduğuna yönelik önerme sunmaları beklenir. Bir üçgende herhangi bir kenar uzunluğunun diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük; farkının mutlak değerinden büyük olması gerektiğini ifade etmeleri sağlanır. Bu eşitsizliğin “üçgen eşitsizliği” olarak ifade edildiği vurgulanır. Öğrencilerin üçgen eşitsizliğine yönelik çıkarımlarını, üçgende açı-kenar ilişkisi ile birlikte yorumlayarak üçgenlerin kenar uzunluklarının değerlendirilmesinde kullanabileceğini ifade etmeleri beklenir. Örneğin iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının ölçüsü verilen bir üçgen çizildiğinde üçüncü kenar uzunluğunun yorumlanması istenebilir (OB4). Öğrenme çıktısının değerlendirilmesinde üçgenin temel elemanları arasındaki ilişkiye yönelik çalışma kâğıdı uygulanabilir. Çalışma kağıdında farklı soru türleri (açık uçlu, kısa cevaplı sorular, doğru yanlış, eşleştirme soruları) kullanılabilir.

MAT.8.3.3
Paralelkenarda köşegenin meydana getirdiği iki üçgenin veya bir doğruya göre simetrik üçgenlerin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkilerin öğrenciler tarafından sorgulanması sağlanır. Öğrencilerin öğretmen tarafından gizli tutulan bir üçgene eş bir üçgen oluşturabilmek için üçgene ilişkin hangi elemanların bilinmesinin yeterli olduğunu tartışmaları için uygun öğrenme ortamı oluşturulur. Tartışmalar sonucunda, öğrencilerin öğretmen tarafından gizli tutulan üçgene eş bir üçgeni oluşturabilmek için hangi özelliklerin bilinmesinin yeterli olduğuna dair varsayımlarda (“Bir üçgende üç kenar uzunluğunun bilinmesi eş üçgenler oluşturmak için yeterlidir.” gibi) bulunmalarına fırsat verilir. Varsayımları doğrultusunda öğretmene gizli tuttuğu üçgenin elemanları ile ilgili sorular sormaları, ardından uygun matematiksel araç ve teknolojiler yardımıyla eş üçgenleri oluşturmaları istenir (MAB5). Öğrenciler öğretmen tarafından gizli tutulan üçgenin üç kenar uzunluğuna dair bilgi aldıklarında eş üçgeni oluşturmak için cetvel ve pergel (matematik yazılımında belirli uzunlukta doğru parçası oluşturma ve çember araçları) kullanmaya; iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu iç açının ölçüsüne veya bir kenar uzunluğu ve bu kenara ait iki iç açının ölçülerine dair bilgi aldıklarında ise cetvel ve açıölçer (matematik yazılımında belirli uzunlukta doğru parçası ve belirli ölçüye sahip açı oluşturma araçları) kullanmaya teşvik edilirler. Süreçte öğrencilerin başlangıçtaki üçgen (gizli tutulan üçgen) ile ilgili öğretmenden istedikleri bilgilerin üçgen oluşturmak için yeterli olan bilgiden fazlasını (örneğin üç kenarının uzunluğu ve bir iç açısının ölçüsüne dair bilgi) veya azını (örneğin yalnızca iki kenar uzunluğuna dair bilgi) içerip içermediğini tartışmaları için uygun öğrenme ortamı oluşturulur. Öğrencilerin oluşturdukları üçgenlerin başlangıçtaki üçgen (gizli tutulan üçgen) ile eş olup olmadıklarını inceleyerek varsayımlarını değerlendirmeleri beklenir. Bu aşamada, oluşturulan üçgenlerin gizli tutulan üçgeni temsil eden bir model ile çakışıp çakışmadığının incelenmesine fırsat verilir. İncelemeler sonucunda, varsayımlarını gözden geçirmeleri ve verilen bir üçgene eş üçgenler oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önermeler sunmaları ve tartışmaları sağlanır (SDB2.1). Öğrencilerin “Üç kenar uzunluğu ile tek bir üçgen oluşturulur.” gibi önermeler sunmaları beklenir. Eşlik sembolü (≅) tanıtılır ve eş üçgenlerin temsil edilmesinde karşılıklı elemanlarının dikkate alındığı vurgulanır. Öğrencilerin iki üçgenin eş olup olmadığına dair tartışma süreçlerinde önermelerinin rolünü değerlendirmeleri beklenir. Örneğin öğrencilerin bir ikizkenar üçgende farklı uzunluktaki kenara ait kenarortayın neden aynı zamanda yükseklik olduğunu eş üçgenlerden yararlanarak değerlendirmelerine fırsat verilir. Öğrenme çıktısının değerlendirilmesinde çalışma kâğıdı uygulanabilir. Çalışma kağıdında farklı soru türleri (açık uçlu, kısa cevaplı sorular, doğru yanlış, eşleştirme soruları) kullanılabilir.

MAT.8.3.4
Öğrencilerin günlük hayattan çeşitli örnekleri (fotokopi makinesinde küçültülmüş veya büyütülmüş şekiller gibi) ele alarak benzerlik üzerine tartışmaları ve inceledikleri şekillerin kenar uzunlukları arasındaki orantısal ilişkileri sorgulamaları sağlanır. Özel olarak benzer üçgenlere odaklanılır. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunlukları oranının eşit olduğu ve karşılıklı iç açıların eş olduğunun fark edilmesi beklenir. Söz konusu oran “benzerlik oranı” olarak tanıtılır. Benzerlik oranının 1 (bir) olması durumunda elde edilen üçgenlerin özelliklerini tartışmalarına ve eş üçgenlerin aynı zamanda benzer olduklarının farkına varmalarına fırsat verilir. Öğrencilerin öğretmen tarafından gizli tutulan bir üçgene benzer bir üçgen oluşturabilmeleri için üçgenin hangi elemanlarının bilinmesinin yeterli olduğuna yönelik tartışmaları istenir (SDB2.1). Tartışma sonucunda, öğrencilerin benzer bir üçgeni oluşturabilmek için hangi özelliklerin bilinmesinin yeterli olduğuna yönelik varsayımlarda (“Üçgenin üç kenarının uzunluğunu bilmek benzer üçgen oluşturmak için yeterlidir.” gibi) bulunmaları sağlanır. Varsayımlarından hareketle öğretmene gizli tuttuğu üçgenin elemanları ile ilgili sorular  sormaları, ardından uygun matematiksel araç ve teknoloji yardımıyla benzer üçgenleri oluşturmaları istenir (MAB5). Süreçte öğrencilerin öğretmen tarafından gizli tutulan üçgenin kenar uzunluklarına dair bilgi aldıklarında benzer üçgeni oluşturmak için istedikleri bir benzerlik oranını kullanmaları sağlanır. Öğrenciler üç kenar uzunluğuna dair bilgi aldıklarında benzer üçgeni oluşturmak için cetvel ve pergel (matematik yazılımında belirli uzunlukta doğru parçası oluşturma ve çember araçları) kullanmaya, iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu iç açının ölçüsüne dair bilgi aldıklarında ise cetvel ve açıölçer (matematik yazılımında belirli uzunlukta doğru parçası ve belirli ölçüye sahip açı oluşturma araçları) kullanmaya teşvik edilirler. Öğretmen tarafından gizli tutulan üçgenin sadece iç açılarının ölçülerine dair bilgi aldıklarında ise ölçüsüz cetvel yardımıyla keyfi bir doğru parçası çizmeleri ve bu doğru parçası bir kenar olacak biçimde benzer üçgenin iç açılarını açıölçer (matematik yazılımında belirli ölçüye sahip açı oluşturma aracı) yardımıyla oluşturmaları beklenir. Açıların oluşturulmasının ardından cetvel (matematik yazılımında doğru veya ışın araçları) yardımıyla üçgenin diğer kenarlarını çizmeleri sağlanır. Öğrencilerin oluşturdukları üçgenlerin başlangıçtaki üçgen (gizli tutulan üçgen) ile benzer olup olmadıklarını inceleyerek varsayımların gözden geçirmeleri sağlanır. Oluşturulan üçgenin kenar uzunluklarının, gizli tutulan üçgenin kenar uzunluklarıyla orantılı olup olmadığı ve karşılıklı açılarının eş olup olmadığı incelenir. Öğrencilerin, başlangıçtaki üçgenin sadece iç açılarının ölçülerine yönelik aldıkları bilgiye dayalı olarak oluşturdukları üçgenin kenar uzunluklarının başlangıçtaki üçgenin kenar uzunlukları ile orantılı olup olmadığını incelerken fiziksel veya çevrim içi hesap makinelerinden yararlanmaları sağlanabilir (MAB5). İncelemeler sonucunda, başlangıçtaki üçgene benzer üçgenler oluşturmak için üçgenle ilgili bilinmesi yeterli olan elemanlara dair önermeler sunmaları hedeflenir. Bu süreçte öğrencilerin “Benzer üçgen oluşturabilmek için üçgenin iki iç açısının ölçüsünü bilmek yeterlidir.”, “İki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu iç açının ölçüsünü bilmek yeterlidir.” gibi önermeler sunmaları beklenir. Verilen iki üçgenin benzer olup olmadığını incelerken üçgenlerin özellikleriyle ilgili hangi bilgilere sahip olmalarının yeterli olacağına dair tartışma yapmaları için uygun öğrenme ortamı oluşturulur. Tartışma sonunda önermelerinin benzer üçgenlerin karşılıklı elemanlarının incelenmesine yönelik katkısını değerlendirmeleri sağlanır. Örneğin öğrenciler ikişer iç açısı eş olan iki üçgenden birinin tüm kenarlarının uzunluklarını ve diğerinin bir kenar uzunluğunu bilmeleri durumunda ikinci üçgenin diğer kenar uzunluklarını nasıl belirleyeceklerini değerlendirebilirler. Ayrıca iki paralel doğru ve iki kesenle oluşan üçgen çiftinde (iki kesenin paralel olmadığı durumlarda oluşan üçgenler) kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi değerlendirmelerine fırsat verilir. Benzerlik sembolü (∼) tanıtılır ve benzer üçgenlerin sembolik olarak temsil edilmesinde karşılıklı köşe noktalarının dikkate alındığı vurgulanır (MAB3). Üçgenler dışında karşılıklı iç açıları eş ve karşılıklı kenar uzunlukları oranı eşit olan diğer çokgenleri de inceleyerek bu çokgenleri benzer çokgenler olarak ele almalarına fırsat verilir. Benzerlik oranı 1 (bir) olan benzer çokgenleri özel olarak eş çokgenler olarak ifade etmeleri sağlanır. Öğrencilerin bir üçgene benzer üçgenler oluşturmaya yönelik deneyimlerini değerlendirmek için çalışma kâğıdı uygulanabilir. Çalışma kağıdında farklı soru türleri (açık uçlu, kısa cevaplı sorular, doğru yanlış, eşleştirme soruları) kullanılabilir.

MAT.8.3.5
Sınıfta tartışma ortamı oluşturularak öğrencilerin a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan rasyonel sayıları belirlemeye dönük tahmin-kontrol süreçlerini (KB2.12) ve tablo temsillerinin kullanımını (MAB3) içeren çalışmalar yapmalarına fırsat verilir. Bu süreçte çalışmalarını doğal sayılardan rasyonel sayılara doğru genişletmeleri sağlanır. Böylelikle “sayılar ve nicelikler” teması ile disiplin içi ilişkilendirme yapılır. Bu aşamada sınıf mevcuduna bağlı olarak grup çalışmalarından  yararlanılabilir (SDB2.2). Belirlenen sayılar tüm öğrenciler tarafından değerlendirilerek doğruluğu test edilir. Yapılan incelemeler sonucunda ortaya çıkan sayı grupları listelenerek kaydedilir. Daha sonra öğrencilerin matematiksel araç  (geometri şeritleri, cetvel, pergel gibi) veya teknolojiden (matematik yazılımında çember ve belirli uzunlukta doğru parçası oluşturma araçları gibi (OB2) yararlanarak a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan kenar uzunluklarına sahip üçgenleri  oluşturmaları ve açıölçer yardımıyla (veya matematik yazılımında açı ölçme aracını kullanarak (OB2) üçgenlerin dik açıya sahip olduklarını belirlemeleri sağlanır (MAB5). Öğrencilerin listeledikleri rasyonel sayı gruplarını değerlendirerek  kenar uzunlukları a²+ b²= c² eşitliğini sağlayan üçgenlerin dik üçgenler olduğunu ifade etmeleri beklenir. Dik üçgende dik açının karşısındaki kenar “hipotenüs” olarak tanıtılır. Öğrencilerin gönye yardımıyla dik kenar uzunlukları rasyonel  sayılar olan dik üçgen çizmeleri ve hipotenüs uzunluğunun, dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının kareköküne eşit olduğunu belirlemeleri sağlanır. Çizilen farklı dik üçgenlerde, dik kenar uzunluklarının kareleri toplamının karekökü irrasyonel sayı olur ise sayının ondalık gösteriminin belirlenmesi için fiziksel veya çevrim içi hesap makinelerinden yararlanılabilir (MAB3, MAB5). Dik üçgenlere ilişkin bubağıntının “Pisagor bağıntısı” olarak isimlendirildiği belirtilir. Öğrencilerin dar ve geniş açılı üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişki üzerine tartışmaları sağlanır. Bu tartışma sürecinde a²+ b²= c² eşitliğini kullanarak nasıl akıl yürütebileceklerini sorgulamalarına fırsat verilir. Tartışma sonunda dar açılı üçgenlerin kenar uzunluklarında a²+ b²> c², geniş açılı üçgenlerin kenar uzunluklarında ise a²+ b²< c² şartının geçerli olduğunu fark etmeleri beklenir. Öğrencilerin öne sürülen kenar uzunluklarına sahip üçgenleri oluşturarak açılarını değerlendirmeleri sağlanır (OB4).Öğrenme çıktısının değerlendirilmesinde farklı soru türlerinden oluşan çalışma kâğıdı uygulanabilir. Çalışma kağıdında farklı soru türleri (açık uçlu, kısa cevaplı sorular, doğru yanlış, eşleştirme soruları) kullanılabilir. Ayrıca öğrencilere grup çalışması (SDB2.1) ile iş birliği içerisinde (SDB2.2) Pisagor’un hayatının, çalışmalarının ve Pisagor bağıntısının keşfinin araştırıldığı bir performans görevi verilebilir. Öğrencilerin performans görevinde ulaştıkları bilgileri dijital araçlar ile arkadaşlarına sunmaları sağlanabilir (E2.5, OB2). Performans görevi bilgi toplama, bilgiyi analiz etme, sunum hazırlama gibi kriterleri barındıran bütüncül veya analitik dereceli puanlama anahtarı ile değerlendirilir. Grup çalışmaları öğrencilerin kendi çalışmaları hakkında yargıda bulunabilecekleri (SDB1.3) öz değerlendirme formu ile arkadaşlarının çalışmaları hakkında görüşlerini belirtebilecekleri (SDB2.2) akran değerlendirme  formu ile değerlendirilerek öğrencilerin kişisel ve grup içi etkinliklerdeki sorumluluklarını yerine getirme becerilerinin geliştirilmesi beklenir. Yapılan grup içi etkinliklerle öğrencilerin çalışkanlık değerini kazanmaları desteklenmiş olur  (D3.4).

MAT.8.3.6
Öğrencilerin üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısı ile ilgili problemlerde ilgili matematiksel bileşenleri (iç açıların ölçüsü, kenarların uzunluğu, şekil gibi) ve problemlerin çözümünde matematiksel bileşenler arasındaki ilişkileri belirlemeleri istenir. Bu süreçte öğrencilerin problem bağlamındaki temsilleri farklı temsillere dönüştürmelerine ve problemi kendi ifadeleriyle açıklamalarına fırsat verilir. Ayrıca problemlerin çözümüne yönelik stratejiler geliştirmeleri ve çözüm için stratejileri uygulamaları sağlanır. Bu süreçte problemin çözümünde bir geometrik şekil içerisindeki yapıları fark etme, şekil içinde farklı geometrik şekiller oluşturma veya şekli parçalara ayırma, geometrik şekilleri ilişkilendirmek için ek çizimler yapma ve simetriden yararlanma gibi farklı stratejilerin kullanımı teşvik edilir. Öğrencilerin problem çözümlerinin ardından çözüm yollarını kontrol ederek çözüme ulaştırmayan stratejiyi değiştirmeleri istenir. Ayrıca stratejilerini gözden geçirmeleri de istenerek kısa yollara ilişkin çıkarımlar ve değerlendirmeler yapmaları beklenir. Bu değerlendirmeler esnasında bazı problemlerin birden fazla çözümünün olabileceğini fark etmelerine ve esnek düşünme becerilerini kullanmalarına fırsat veren öğrenme ortamı oluşturulur. Öğrencilerden problemin çözümünde kullandıkları stratejilerin hangi tür problemlerde kullanılabileceğine dair genelleme yapmaları, genelleme yaparken de kullanılan stratejinin ve elde edilen sonuçların diğer şekiller için de geçerli olup olmadığını belirlemeleri sağlanır. Üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısına ilişkin problemleri içeren izleme testi kullanılabilir

Okul içerisinde bulunan boş bir alanın üçgensel bir bölge olarak en verimli şekilde kullanılması için nasıl değerlendirilebileceğine yönelik mimari çizim ve ölçme çalışmaları yapılması istenebilir. Böylece öğrencilerin üçgende açı-kenar ilişkisi ve üçgen eşitsizliğine yönelik bir probleme, uygulama odaklı çözümler geliştirmeleri beklenebilir.
Öğrencilerin benzer şekillerin oluşturulmasına yönelik bir araç olan pantografın tasarımı ve kullanımı ile ilgili araştırma yaparak kendi pantograflarını tasarlamaları ve kullanmaları istenebilir. 
Üçgende kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan üçgenlerin birbirleriyle ve ilk üçgenle ilişkilerini inceleyerek benzerliğe dayalı ilişkiyi fark etmeleri sağlanabilir. Kâğıt kesme ve kaplama çalışmaları yardımıyla diğer benzer çokgenlerin alanları arasındaki ilişkinin öğrenciler tarafından incelenmesi istenebilir.
Thales’in piramidin yüksekliğini hesaplamak için kullandığı yöntemi araştırmaları istenebilir. Bu yöntemden faydalanarak bir modelleme problemi kapsamında okul binasının, yakınlardaki bir elektrik direğinin veya bir ağacın yüksekliğini belirlemeleri istenebilir. 
Öğrencilerin yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karede köşegenlerin meydana getirdiği üçgenler arasından eş, benzer ve köşegene göre simetrik olanları incelemeleri sağlanabilir. 
Eş üçgenlere dair bilgileri kullanarak pergel ve ölçüsüz cetvel yardımıyla verilen bir açıya eş açı inşa etmeleri istenebilir. İnşa sürecinde matematik yazılımında nokta, doğru ve çember araçlarından yararlanılabilir.
Öğrencilerin Pisagor bağıntısına ait farklı ispat yöntemleri hakkında araştırma yapmaları sağlanarak çıkarımlarına dair gerekçeleri sunmaları istenebilir. 
Bîrûnî’nin, fizik ve astronomi alanında geometriyle ilişkili olarak yürüttüğü çalışmalarını dijital kaynaklardan araştırarak sonuçlarını sınıfta sunmalarına fırsat verilebilir.
Öğrencilere açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği ve Pisagor bağıntısına yönelik birden fazla çözümü olan problemler verilerek öğrencilerin farklı çözüm yolları geliştirmeleri istenebilir. 
Öğrencilerin üçgende açı-kenar ilişkisi, üçgen eşitsizliği, eşlik, benzerlik ve Pisagor bağıntısına yönelik olimpiyat sorularını çözmeleri sağlanabilir.

Kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri tam sayı olacak şekilde üçgenler verilerek öğrencilerin cetvel ve pergel aracılığıyla kenar uzunluklarını ve iç açılarının ölçülerini belirlemeleri, ölçümlerini üçgende açı-kenar ilişkisi bağlamında tablo temsili ile yorumlamaları sağlanabilir.

Kenar uzunlukları tam sayı olan üçgenler verilerek öğrencilerin cetvel yardımı ile kenar uzunluklarını belirlemeleri ve tablo temsili aracılığıyla üçgen eşitsizliği bağlamında yorumlamaları sağlanabilir.
Öğrencilerin noktalı kâğıt üzerinde verilen bir üçgene eş üçgenler oluşturmalarına yönelik çalışmalar yapılabilir. Bu çalışmalar tüm elemanları verilen bir üçgen üzerinden yapılabileceği gibi üçgenin yeterli elemanları verilerek üçgeni öğrencilerin oluşturmasına yönelik örneklerle de çeşitlendirilebilir.
Kareli veya noktalı kâğıt üzerinde şekilleri belirli oranda büyütme veya küçültme işlemleri yapılabilir. Miniatürk’teki yapıların sanal ortamlarda incelenmesi istenebilir.
Basitten karmaşığa, kolaydan zora problemler oluşturularak öğrencinin kendi hızında öğrenmesi sağlanabilir. 
Pisagor bağıntısını doğrulamaya yönelik basamaklandırılmış somut ve sanal manipülatiflerin kullanılması ve kenarlar üzerindeki karelerin alanları arasındaki ilişkinin görselleştirilmesi sağlanabilir

Programa yönelik görüş ve önerileriniz için karekodu akıllı cihazınıza okutunuz.